[論文レビュー] On the moduli space of pairs consisting of a cubic threefold and a hyperplane

Radu Laza, Gregory Pearlstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、X を三次三様体、H を ℙ⁴ 内の超平面とする対 (X,H) のモジュライ空間に対して、Hodge理論的周期写像を構成する。この写像は、Eckardt点をもつラティス極小化三次四様体 Y に各対を関連付ける。主な結果として、モジュライ空間のGIT商モデルとタイプIV局所対称ドメインのBaily-Borelコンパクト化との間に、周期写像が同型を誘導することを示す。

ABSTRACT

We study the moduli space of pairs $(X,H)$ consisting of a cubic threefold $X$ and a hyperplane $H$ in $\mathbb P^4$. The interest in this moduli comes from two sources: the study of certain weighted hypersurfaces whose middle cohomology admit Hodge structures of $K3$ type and, on the other hand, the study of the singularity $O_{16}$ (the cone over a cubic surface). In this paper, we give a Hodge theoretic construction of the moduli space of cubic pairs by relating $(X,H)$ to certain "lattice polarized" cubic fourfolds $Y$. A period map for the pairs $(X,H)$ is then defined using the periods of the cubic fourfolds $Y$. The main result is that the period map induces an isomorphism between a GIT model for the pairs $(X,H)$ and the Baily-Borel compactification of some locally symmetric domain of type IV.

研究の動機と目的

• 三次三様体 X と ℙ⁴ 内の超平面 H からなる対 (X,H) のHodge理論的モジュライ空間を構成すること。
• このような対が、Eckardt点（つまり、三次曲面の錐を含む超平面切断を持つ）をもつ三次四様体 Y にどのように関連するかを特定すること。
• 関連する三次四様体 Y の周期を用いて、対 (X,H) の周期写像を定義すること。
• 周期写像がモジュライ空間のGIT商モデルとタイプIV局所対称ドメインのBaily-Borelコンパクト化との間に同型を誘導することを確立すること。
• ラティス極小化とTorelli型定理を用いて、周期写像のHodge理論的コンパクト化を提供すること。

提案手法

• X ∪ H を分岐集合とする ℙ⁴ 上の2重被覆をとることで、(X,H) から三次四様体 Y を構成する。これにより、重み付き射影空間 ℙ(1,2,2,2,2,3) 内の次数6の準滑らかな超曲面が得られる。
• 関連する三次四様体 Y を、超平面類と三次曲面 X ∩ H から得られるスケーリングされた E₆ ラティスで生成される H⁴(Y,ℤ) ∩ H²²(Y) の飽和部分格子 M による M-極小化と特徴付ける。
• Voisin の三次四様体に対するTorelli定理と格子論を用いて、(X,H) のモジュライ空間がタイプIVの局所対称ドメインに双有理的であることを示す。
• 周期写像 𝒫₀: 𝒪₀ → 𝒟ₘ / O⁺(T) を定義する。ここで T = H⁴(Y,ℤ) 内の M の直交補空間であり、𝒟ₘ は Hodge数 (0,1,14,1,0) をもつ T 上の重み4 Hodge 構造の周期領域である。
• Torelli定理と格子 M の幾何を用いて、周期写像がその像上へ同型であることを証明する。
• 局所対称ドメインのBaily-Borelコンパクト化への構成の拡張により、周期写像をコンパクト化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 三次三様体と超平面からなる対 (X,H) のモジュライ空間を、Hodge理論を用いてどのように構成できるか？
• RQ2 このような対 (X,H) から得られる三次四様体のHodge理論的特徴づけは何か？
• RQ3 関連する三次四様体 Y の周期を用いて、(X,H) のモジュライ空間の周期写像を定義できるか？
• RQ4 モジュライ空間から局所対称ドメインへの周期写像が同型であるか？
• RQ5 周期写像のコンパクト化は、対称ドメインのBaily-Borelコンパクト化とどのように関係するか？

主な発見

• 滑らかな三次対 (X,H) のモジュライ空間は、タイプIVの局所対称ドメインに双有理的である。
• 周期写像 𝒫₀: 𝒪₀ → 𝒟ₘ / O⁺(T) はその像上へ同型であり、これによりモジュライ空間のHodge理論的均質化が確立される。
• 関連する三次四様体 Y は、H⁴(Y,ℤ) ∩ H²²(Y) 内の飽和部分格子 M による M-極小化と特徴づけられる。ここで M は、三次曲面 X ∩ H から得られるスケーリングされた E₆ ラティスを含む。
• 周期領域 𝒟ₘ は、Hodge数 (0,1,14,1,0) をもつ T = M⊥ 上の重み4 Hodge 構造をパラメトライズする。
• 群 O⁺(T) は 𝒟ₘ の安定化群であり、商空間 𝒟ₘ / O⁺(T) は (X,H) のモジュライ空間のGIT商モデルに同型である。
• この構成により、対称ドメインのBaily-Borelコンパクト化を用いて、モジュライ空間のHodge理論的コンパクト化が得られる。