[論文レビュー] On the moduli space of semi-stable plane sheaves with Euler characteristic one and supported on sextic curves

Mario Maican|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、オイラー標数が1である6次曲線に台を持つ複素射影平面におけるギーゼッカー半安定層のモジュライ空間を研究する。すべての such 层に対して長さ1の局所自由分解を提供し、コhomological 条件に基づきモジュライ空間を5つのストラトムに分解し、各ストラトムをパラメータ空間上の代数群作用による幾何学的商として記述する。各ストラトムにおける層の明示的な幾何学的およびコhomological 特徴づけが与えられる。

ABSTRACT

We study the moduli space of Gieseker semi-stable sheaves on the complex projective plane supported on sextic curves and having Euler characteristic one. We determine locally free resolutions of length one for all such sheaves. We decompose the moduli space into strata which occur naturally as quotients modulo actions of certain algebraic groups. In some cases we give concrete geometric descriptions of the strata.

研究の動機と目的

• P²上のヒルベルト多項式P(m) = 6m + 1をもつギーゼッカー半安定層をパラメータ化するモジュライ空間M_{P²}(6,1)の幾何構造を理解すること。
• このモジュライ空間を、層のコhomological 不変量に基づきストラトムに分解し、それぞれが異なる層型に対応することを明らかにすること。
• すべてのsuch 層に対して長さ1の局所自由分解を構成し、ストラトムの明示的な幾何的記述を可能にすること。
• 各ストラトムを、準同型空間のパラメータ空間上の代数群作用による幾何学的商として記述すること。
• 双対性を用いてM_{P²}(6,1)とM_{P²}(6,5)を関連づけ、既知の低次元曲線に対する結果を一般化すること。

提案手法

• モジュライ空間M_{P²}(6,1)は、層のコhomological 条件に基づき、5つの局所閉部分集合X₀からX₅にストラティファイされる。
• 各ストラトムXiは、AiとBiがラインバンドルの直和であるとき、Aut(Ai) × Aut(Bi)の作用による、Hom(Ai, Bi)の局所閉部分集合Wiの幾何学的商として実現される。
• 各ストラトムに属するすべての層に対して、長さ1の局所自由分解が構成され、層は準同型φ ∈ Hom(Ai, Bi)の余核として得られる。
• ストラトムはファイバー束の構造を用いて記述される：X₀はN(3,5,4)上にファイバーP¹⁷をもつファイバー束、X₂はY × P²上、X₃はP² × N(3,2,3)上、X₄はGrass(2,6)上へのファイバー束に双有理同型、X₅はヒルベルトフラッグスキームと同型。
• 双対性を用いてM_{P²}(6,1)とM_{P²}(6,5)を関連づけ、双対ストラトムX_i^Dが双対コhomological 条件によって定義される。
• コhomological 停止および安定性の議論を用いて、不安定化部分層の排除を行い、ストラトムが適切に定義され、かつ既約であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オイラー標数が1である6次曲線に台を持つ半安定層のモジュライ空間M_{P²}(6,1)の幾何的構造は何か？
• RQ2 このモジュライ空間は、パラメータ化する層のコhomological 不変量に基づきどのようにストラティファイできるか？
• RQ3 すべてのsuch 層に対して明示的な長さ1の局所自由分解は何か？ また、それらはどのようにモジュライ空間のストラトムを準同型空間の商として実現するか？
• RQ4 ストラトムはN(3,5,4)、N(3,2,3)、Grass(2,6)といった既知のモジュライ空間とどのように関係するか？
• RQ5 双対性はM_{P²}(6,1)とM_{P²}(6,5)をどのように関連づけ、双対ストラトムはどのように特徴づけられるか？

主な発見

• モジュライ空間M_{P²}(6,1)は、次元37の滑らかで、既約で、有理的である射影的代数的多様体である。
• この空間は5つのストラトムにストライキされる：X₀（開集合、余次元0）、X₁とX₂（余次元2）、X₃ ∪ X₄（余次元6）、X₅（余次元8）。
• X₀は、半安定クライネッカー加群f: 5O(-2) → 4O(-1)のモジュライ空間N(3,5,4)上にファイバーP¹⁷をもつファイバー束の開部分集合である。
• X₅は、長さ2の0次元部分スキームをもつ6次曲線をパラメータ化するヒルベルトフラッグスキームと同型である。
• X₃の一般層は、滑らかな6次曲線C上に非同一直線上の3点P₁,P₂,P₃をもつとき、O_C(2)(-P₁ - P₂ - P₃ + P₄)の形をしている。
• X₄の一般層は、C上に3点が同一直線上にない4点P₁,P₂,P₃,P₄をもつとき、O_C(1)(P₁ + P₂ + P₃ + P₄)の形をしている。