[論文レビュー] On the Moduli Space of Singular Euclidean Surfaces

Marc Troyanov|ArXiv.org|Feb 22, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、特異点を持つ平坦計量の変形空間としてテイヒミュラー空間を実現することにより、穴あきリーマン面のモジュライ空間に新しい幾何構造を構成する。合同表現を用いて、テイヒミュラー空間から同次空間 $\mathbb{T}^{2g} \times \mathbb{CP}^{2g+n-3}$ への $\Phi$-等長局所ホメオモルフィズムを確立し、特異角パラメータ $\beta_i$ でパrameter化された、モジュライオルビフォールド $\mathcal{M}_{g,n}$ 上の $(G,X)$-構造の族を構成する。この結果、テイヒミュラー理論、平坦面、オルビフォールド上の幾何構造のアプローチが統一される。

ABSTRACT

The goal of this paper is to develop some aspects of the deformation theory of piecewise flat structures on surfaces and use this theory to construct new geometric structures on the moduli space of Riemann surfaces.

研究の動機と目的

• 穴あきリーマン面に特異点を持つ折りたたみ平坦面の変形理論を構築すること。
• テイヒミュラー空間と基本群から $\operatorname{SE}(2)$ への表現の空間との間の対応を確立すること。
• テイヒミュラー空間から同次空間 $\mathbb{T}^{2g} \times \mathbb{CP}^{2g+n-3}$ への $\Phi$-等長局所ホメオモルフィズムを構成し、モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,n}$ に幾何構造の族を導入すること。
• 平坦面の変形を用いて、デリーニュ–モストウとターレソンのモノドロミーと複素双曲的構造のアプローチを一般化・統一すること。

提案手法

• 穴あき曲面 $\Sigma_{g,n}$ 上の平坦計量を、穴の位置で指定された角 $\beta_i$ を持つ特異点を持つようにパラメータ化し、$\sum \beta_i = 2g-2$ かつ $\beta_i \in (-1,\infty) \setminus \mathbb{Z}$ を満たす。
• 各計量に対して、$\pi_1(\Sigma_{g,n}) \to \operatorname{SE}(2)$ への合同表現 $\rho$ を対応させ、表現の空間 $\mathcal{SR}^{\text{reg}}_{\vec{\beta}}$ に写す。
• アーベル部分（$\mathbb{T}^{2g}$ へのキャラクター写像）とコhomオロジー部分（$\mathbb{CP}^{2g+n-3}$ 内の射影的類）への分解を用いて、このような合同表現の空間を同次空間 $\Xi = \mathbb{T}^{2g} \times \mathbb{CP}^{2g+n-3}$ に同定する。
• 純マッピングクラス群 $\operatorname{PMod}_{g,n}$ の表現空間への作用を用い、テイヒミュラー空間の同定と合同表現写像、および $\Xi$ への同型写像を合成することで、$\Phi$-等長写像 $\mathcal{H}: \mathcal{T}_{g,n} \to \Xi$ を定義する。
• テイヒミュラー空間 $\mathcal{T}_{g,n}$ と $\Xi$ がともに実解析的多様体であり、次元が $6g-6+2n$ であることを利用し、ブロウアーの領域不変性を適用して $\mathcal{H}$ が局所ホメオモルフィズムであることを結論づける。
• 球面の場合（$g=0$）では、モノドロミー表現の像が $PU(1,n-3)$ に含まれることを示し、$\beta_i$ に算術的条件を課すと、像が格子となり、有限体積の複素双曲的オルビフォールドが得られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あき曲面のテイヒミュラー空間は、特異点を持つ平坦計量の変形空間として自然に同定可能か？
• RQ2 このような平坦計量の合同表現は、$\operatorname{SE}(2)$ 内の表現空間とどのように関係するか？
• RQ3 この合同表現対応から、モジュライ空間 $\mathcal{M}_{g,n}$ がどのような幾何構造を引き受けるか？
• RQ4 純バターン群 $PB_n$ のモノドロミー表現が、$PU(1,n-3)$ 内の格子をなす条件は何か？
• RQ5 この構成は、デリーニュ–モストウの代数的幾何的アプローチとターレソンの幾何的位相的アプローチを統合できるか？

主な発見

• テイヒミュラー空間 $\mathcal{T}_{g,n}$ は、$\Phi: \operatorname{PMod}_{g,n} \to \operatorname{Aut}(\mathbb{T}^{2g}) \times \operatorname{PGL}_{2g+n-2}(\mathbb{C})$ である群準同型を伴う、$\Phi$-等長局所ホメオモルフィズム $\mathcal{H}: \mathcal{T}_{g,n} \to \mathbb{T}^{2g} \times \mathbb{CP}^{2g+n-3}$ を持つ。
• $\mathcal{H}$ は、各特異点付き平坦計量の同型類をその合同表現に写す。これにより、テイヒミュラー空間が表現空間の商として幾何的に実現される。
• 穴あき球面（$g=0$）の場合、$\mathcal{H}: \mathcal{T}_{0,n} \to \mathbb{CP}^{n-3}$ は $\Phi: PB_n \to \operatorname{PGL}_{n-2}(\mathbb{C})$ を伴う $\Phi$-等長局所ホメオモルフィズムとなる。
• $-1 < \beta_i < 0$、$\sum \beta_i = -2$、かつ $\beta_i + \beta_j > -1 \Rightarrow (1 + \beta_i + \beta_j)^{-1} \in \mathbb{N}$ を満たすとき、$\Phi(PB_n)$ は $PU(1,n-3)$ 内の格子となり、有限体積の複素双曲的オルビフォールドが得られる。
• モジュライ空間の完備化 $\overline{\mathcal{M}}$ は、特異点を持つ自然な複素双曲的計量を備え、算術的条件が成立するときオルビフォールドである。
• キャラクター写像 $\rho: \mathcal{T}_{g,n} \to \mathbb{T}^{2g}$ は実解析的なサブミッションであり、その纤维は $\mathbb{CP}^{2g+n-3}$ をモデルとする幾何構造を持つ。