[論文レビュー] On the moduli spaces of left-invariant pseudo-Riemannian metrics on Lie groups

Akira Kubo, Kensuke Onda+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン計量に対して既知の結果を一般化するため、リーマン計量のモジュライ空間の概念を擬リーマン計量へと拡張し、Lie群上の左不変擬リーマン計量に対して一般化されたミルナー枠手順を開発する。この手法により、曲率性質の分類が可能となり、実双曲空間Lie群上の任意の符号型の左不変擬リーマン計量が一定の断面曲率を持つことを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we formulate a procedure to obtain a generalization of Milnor frames for left-invariant pseudo-Riemannian metrics on a given Lie group. This procedure is an analogue of the recent studies on left-invariant Riemannian metrics, and is based on the moduli space of left-invariant pseudo-Riemannian metrics. As one of applications, we show that any left-invariant pseudo-Riemannian metrics of arbitrary signature on the Lie groups of real hyperbolic spaces have constant sectional curvatures.

研究の動機と目的

• Lie群上の左不変擬リーマン計量に対するミルナー型枠を構成する一般的手順を提示すること。
• 従来リーマン計量に用いられてきたモジュライ空間のアプローチを、擬リーマン計量の設定へと拡張すること。
• 特に実双曲空間Lie群を含む特定のLie群における左不変擬リーマン計量の曲率性質を分析すること。
• 実双曲空間Lie群上のすべての左不変擬リーマン計量が、符号にかかわらず一定の断面曲率を持つことを示すこと。
• 構造的および曲率的解析を通じて、リーマン計量と擬リーマン計量のケースの違いを明確にすること。

提案手法

• 本手法は、符号 (p,q) の計量の空間における ℝ×Aut(𝔤) の作用の軌道空間として定義される、左不変擬リーマン計量のモジュライ空間に基づく。
• Lie代数の括弧積関係を単純化するモジュライ空間内の代表元を見つけることで、一般化されたミルナー枠を構成する。
• I₃ − λE₃,₁ (λ = 0,1,2) のような一連の標準的代表元を用い、擬正規直交基底下での可能な括弧構造を分類する。
• 本手法は、括弧関係 [e₁,eⱼ] = eⱼ (j ≥ 2) を満たす、実双曲空間Lie群 G_ℝ𝐻ⁿ のLie代数 𝔤_ℝ𝐻ⁿ に適用可能である。
• p,q ≥ 1 のとき 𝔐_(p,q)(G) ≅ GLₙ(ℝ)/O(p,q) が擬リーマン多様体の対称空間であるという事実を活用し、群作用による分類が可能になる。
• 得られた括弧関係が離散的パラメータ λ ∈ {0,1,2} のみに依存することを示すことで、構成の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 左不変擬リーマン計量に対して、既知のリーマン計量の場合と同様の一般化されたミルナー枠手順を構築できるか？
• RQ2 実双曲空間Lie群上の左不変擬リーマン計量が、任意の符号型に対して一定の断面曲率を持つのか？
• RQ3 同じLie群上での左不変擬リーマン計量の曲率性質は、そのリーマン計量版とどのように異なるのか？
• RQ4 モジュライ空間構造 ℝ×Aut(𝔤) \ 𝔐_(p,q)(G) は、このような計量の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 離散的パラメータ λ ∈ {0,1,2} は、任意の符号型下での擬正規直交基底の括弧関係を完全に分類できるか？

主な発見

• 実双曲空間Lie群 G_ℝ𝐻ⁿ 上のすべての左不変擬リーマン計量（符号型 (p,q)）は、一定の断面曲率を持つ。
• 任意の実数に対して、G_ℝ𝐻ⁿ 上にその数を一定断面曲率として持つ左不変擬リーマン計量（符号型 (p,q)）が存在する。
• 一般化されたミルナー枠の括弧関係は、離散的パラメータ λ ∈ {0,1,2} のみに依存し、曲率解析の簡略化が可能になる。
• Lorentzianケース（q=1）は特別な場合として回復され、ノミズの一定曲率に関する結果の別証明が得られる。
• λ=1 に対応する計量は平坦であるが、λ=0 および λ=2 は非アインシュタイン的だが代数的リッチソリトン計量をもたらす。
• λ ∈ {0,1,2} を用いた分類により、G_ℝ𝐻ⁿ のLie代数の可能な擬正規直交枠構造が完全かつ有限なパrameter化で与えられる。