[論文レビュー] On the moments of roots of Laguerre-polynomials and the Marchenko-Pastur law

Miklós Kornyik, György Michaletzky|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2016

Random Matrices and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラゲール多項式 $ L_p^{(\beta)} $ の根のモーメントとマーチェンコ＝パストル分布との直接的な関係を、$ \alpha_p/p \to c > -1 $ のとき、根の $ k $-乗和の主要項がマーチェンコ＝パストル法則の $ k $-次のモーメントと一致することを証明することで確立する。証明はラゲール多項式の再帰的性質と組合せ的経路数え上げに依拠し、大 $ p $ における経験的根分布の弱収束がマーチェンコ＝パストル法則に一致することを確認する。

ABSTRACT

In this paper we compute the leading terms in the sum of the $k^{th}$ power of the roots of $L_{p}^{(α)}$, the Laguerre-polynomial of degree $p$ with parameter $α$. The connection between the Laguerre-polynomials and the Marchenko-Pastur distribution is expressed by the fact, among others, that the limiting distribution of the empirical distribution of the normalized roots of the Laguerre-polynomials is given by the Marchenko-Pastur distribution. We give a direct proof of this statement based on the recursion satisfied by the Laguerre-polynomials. At the same time, our main result gives that the leading term in $p$ and $(α+p)$ of the sum of the $k^{th}$ power of the roots of $L_{p}^{(α)}$ coincides with the $k^{th}$ moment of the Marchenko-Pastur law. We also mention the fact that the expectation of the characteristic polynomial of a $XX^T$ type random covariance matrix, where $X$ is a $p imes n$ random matrix with iid elements, is $\ell^{(n-p)}_p$, i.e. the monic version of the $p^{th}$ Laguerre polynomial with parameter $n-p$.

研究の動機と目的

• ラゲール多項式の根のモーメントとマーチェンコ＝パストル分布との直接的な解析的関係を確立すること。
• 複素解析を用いずに、正規化された根の経験的分布がマーチェンコ＝パストル法則に弱収束することを証明すること。
• パラメータ $ p $ と $ \alpha + p $ を用いた、$ L_p^{(\beta)} $ の $ k $-次の根の累乗和の主要項の漸近的挙動を計算すること。
• ラゲール多項式が $ XX^T $ のランダム共分散行列の特性多項式の生成関数として果たす役割を明確にすること。

提案手法

• ラゲール多項式が満たす再帰関係を用いて、その根の $ k $-次の累乗和の漸近展開を導出する。
• 組合せ的経路数え上げモデルを導入し、漸近展開の係数を特定する。根の累乗和を格子経路上の重み付き和としてモデル化する。
• 正規化された根のモーメントに基づいて生成関数 $ \mathcal{M}_p^{(\alpha)}(z) $ を定義し、共役多項式の対数微分と関連付ける。
• 生成関数に対して $ p \to \infty $ の極限で不動点議論を適用し、マーチェンコ＝パストル法則の生成関数への収束を示す。
• $ X $ が $ p \times n $ の i.i.d. 行列で平均 0、分散 1 であるとき、$ XX^T $ の特性多項式の期待値がモニックラゲール多項式 $ \ell_p^{(n-p)} $ に一致することを用いる。
• 格子経路に対して「カットアンドグルー」変換を施し、$ (k,1) $ で終わる有効な経路の数を数える。$ j $ 個の上昇ステップを含むような経路の数は $ \frac{1}{k} \binom{k}{j} \binom{k}{j-1} $ に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラゲール多項式 $ L_p^{(\alpha)} $ の根の $ k $-乗和における主要項が、マーチェンコ＝パストル分布の $ k $-次のモーメントと一致するか。
• RQ2 ラゲール多項式の再帰的関係のみを用いて、正規化された根の経験的分布がマーチェンコ＝パストル法則に弱収束することを証明できるか。
• RQ3 $ M_p^{(\alpha)}(k) = \sum_{i=1}^p (\xi_{p,i}^{(\alpha)})^k $ の正確な漸近的形は、$ p $ と $ \alpha + p $ の関数としてどのように表されるか。
• RQ4 格子経路の組合せ的構造は、ラゲール多項式の根のモーメント展開の係数とどのように関係するか。

主な発見

• $ M_p^{(\alpha)}(k) $ の主要項は $ \sum_{j=1}^k \frac{1}{k} \binom{k}{j} \binom{k}{j-1} p^j (\alpha + p)^{k-j+1} $ に一致し、これはマーチェンコ＝パストル法則の $ k $-次のモーメントと一致する。
• $ \alpha_p / p \to c > -1 $ のとき、$ L_p^{(\alpha_p)} $ の正規化された根の経験的分布は、弱収束してマーチェンコ＝パストル分布 $ \mu_c $ に一致する。
• $ c \geq 0 $ のとき、極限測度 $ \mu_c $ は密度 $ \frac{\sqrt{(x_+-x)(x-x_-)}}{2\pi x} \mathbf{1}_{[x_-,x_+]}(x) $ を持つ絶対連続測度であり、ここで $ x_\pm = (\sqrt{c+1} \pm 1)^2 $ である。
• $ \alpha < 0 $ であっても整数でない場合（そのとき根は複素数である可能性がある）でも、$ k $-次のモーメントは依然として $ \mu_c $ の $ k $-次のモーメントに収束するが、この場合、極限測度は $ \mathbb{R}_+ $ 上に台を持たない。
• $ (k,1) $ で終わる合法的な格子経路で、$ j $ 個の上昇エッジを持つものの数は $ \frac{1}{k} \binom{k}{j} \binom{k}{j-1} $ に一致し、これは漸近展開における $ p^j (\alpha + p)^{k-j+1} $ の係数と一致する。