[論文レビュー] On the moments of the Riemann zeta-function in short intervals

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Jul 8, 2008

Analytic Number Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、リーマン予想の下で、$H = T^\theta$、$0 < \theta \leq 1$ である短区間 $[T, T+H]$ におけるリーマン・ゼータ関数の $2k$-次のモーメントに対して上界を確立する。サウンドララジャンの手法にインspiredされた $\log|\zeta(1/2 + it)|$ の大値推定を用いて、$\int_T^{T+H} |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt \ll H(\log T)^{k^2(1 + O(1/\log_3 T))}$ を証明し、従来の結果を改善して指数部の $\varepsilon$-損失を明示的な $o(1)$ の誤差項に置き換える。

ABSTRACT

Assuming the Riemann Hypothesis it is proved that, for fixed $k&gt;0$ and $H = T^θ$ with fixed $0

研究の動機と目的

• サウンドララジャンの $L^2$-モーメント評価 $\int_0^T |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ を、$H = T^\theta$ である短区間 $[T, T+H]$ に一般化すること。
• サウンドララジャンの評価における指数部の $\varepsilon$-損失を、$\log_3 T$ に依存する明示的な $o(1)$ 項に置き換えること。
• リーマン予想の下で、短区間における $|\zeta(1/2 + it)|$ の $2k$-次のモーメントに対して鋭い上界を確立すること。
• $\log|\zeta(1/2 + it)|$ の大値推定法を短区間に拡張し、指数部の誤差項の精度を向上させること。

提案手法

• 長さ $H = T^\theta$ の短区間に対して、サウンドララジャンの $\log|\zeta(1/2 + it)|$ の大値法を適応する。
• ヴォン・マンゴルト関数とセルバーグの手法を用いて、$\log|\zeta(1/2 + it)|$ の切り捨てられたディリクレ級数近似を用いる。
• デイアディック分解を適用し、$\log|\zeta(1/2 + it)| \geq V$ を満たす $t \in [T, T+H]$ の測度を、$V$ の3つの異なる範囲について推定する。
• 素数およびその補集合上の指数和 $S_1(t)$ と $S_2(t)$ のモーメント推定に、素数上での和のモーメント評価に関する補題3を適用する。
• スターリングの近似を用い、指数的項を最小化するための $r$ に関する最適化を行う。
• $V$ の大きさに応じた3つのケースの境界を組み合わせ、モーメント積分の最終的な上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サウンドララジャンの $|\zeta(1/2 + it)|$ の $2k$-次のモーメントに対する上界における $\varepsilon$-損失を、指数部の明示的な $o(1)$ 項に置き換えることは可能か？
• RQ2 リーマン予想の下で、$H = T^\theta$ かつ $0 < \theta \leq 1$ のとき、$\int_T^{T+H} |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt$ の最良の上界は何か？
• RQ3 大値推定法 $\log|\zeta(1/2 + it)|$ は短区間にどのように拡張可能か？どのような改良が必要か？
• RQ4 上界の指数部を、短区間における既知の下界 $H(\log H)^{k^2}$ と一致させるように改善できるか？

主な発見

• リーマン予想の下で、$H = T^\theta$ である短区間 $[T, T+H]$ における $|\zeta(1/2 + it)|$ の $2k$-次のモーメントは、$\int_T^{T+H} |\zeta(1/2 + it)|^{2k} dt \ll H(\log T)^{k^2(1 + O(1/\log_3 T))}$ を満たす。
• 指数部の誤差項は明示的に $O(1/\log_3 T)$ であり、$T \to \infty$ のとき $0$ に収束するため、サウンドララジャンの元の評価における $\varepsilon$-損失を改善している。
• この境界は、$\log|\zeta(1/2 + it)|$ の大値推定に基づき、$V$ の3つの範囲に分け、それぞれ異なるモーメント推定と最適化を要する。
• 特に $V \leq \log_2 T$ の場合、$\log|\zeta(1/2 + it)| \geq V$ を満たす $t \in [T, T+H]$ の測度は、$H \frac{V}{\sqrt{\log_2 T}} \exp\left(-\frac{V^2}{\log_2 T}\left(1 - \frac{7}{2\theta \log_3 T}\right)\right)$ で上から抑えられる。
• 一方、$V \geq \frac{1}{2}\theta \log_2 T \log_3 T$ の場合、測度は $H \exp(-\frac{1}{20}\theta V \log V)$ のように減少し、大値の急速な減少を反映している。
• 現在の技術では、$\log_2 T \ll H \leq T$ の全範囲への拡張はまだ不可能であり、指数部の $O(1/\log_3 T)$ 項は現在の手法では取り除けない。