[論文レビュー] On the Monodromies of N=2 Supersymmetric Yang-Mills Theory

Albrecht Klemm, W. Lerche+2 more|ArXiv.org|Dec 18, 1994

Advanced Algebra and Geometry参考文献 1被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、N=2超対称SU(2)ヤンミルズ理論のシーベルグ＝ウィッテン解をSU(n)ゲージ群へ一般化し、量子モジュライ空間が genus n−1 のハイパーエリプティックリーマン面の族に一致することを示している。主な貢献は、質量ゼロの特異点の周囲のモノドロミーの完全な特徴付けであり、モノドロミー行列がBPS状態の電気的および磁気的量子数を符号化しており、SU(3)では全モノドロミー群がΓ₀(4)に一致することが特定された。また、パrameter平面における古典的モノドロミーは、Weyl群のコックスター要素に関連している。

ABSTRACT

We review the generalization of the work of Seiberg and Witten on N=2 supersymmetric SU(2) Yang-Mills theory to SU(n) gauge groups. The quantum moduli spaces of the effective low energy theory parametrize a special family of hyperelliptic genus n-1 Riemann surfaces. We discuss the massless spectrum and the monodromies.

研究の動機と目的

• N=2超対称SU(2)ヤンミルズ理論のSeiberg-Witten解を、特にSU(n)へ高ランクゲージ群へ拡張すること。
• 低エネルギー有効理論の量子モジュライ空間を、genus n−1 のハイパーエリプティックリーマン面の族として同定すること。
• 質量ゼロの特異点の周囲のモノドロミー行列を特定し、それらをBPS状態の電気的および磁気的量子数に結びつけること。
• モノドロミー群を同定し、SU(n)のWeyl群、特にトップカシミールパラメータ平面におけるコックスター要素との関係を明らかにすること。

提案手法

• 有効な低エネルギー理論は、ホロモーフィックなプレポテンシャルF(A)によって記述され、これが量子モジュライ空間上の計量および力学を決定する。
• モジュライ空間は、Γ₀(4)による上半平面の商として特定され、Seiberg-Witten曲線y² = (x²−u)²−Λ⁴によって定まる分岐点を持つ、複素u平面の2重被覆として実現される。
• 磁気的量子数gおよび電気的量子数qを持つBPS状態に対して、モノドロミー行列M(g;q)を導出し、周期のベクトル(a_D; a)に作用させる。
• 無限大回りのモノドロミーは6つの局所的モノドロミー行列の積として計算され、基底変換を除いて半古典的モノドロミーと一致する。
• u平面における古典的モノドロミーはWeyl群生成子に共役であることが示され、v平面では位数3のコックスター要素r₁r₂である。
• 特異点理論との接続を確立し、Λ平面における原点回りのループがA-D-E特異点のコックスターモノドロミーを再現することを示し、量子補正はシフト行列Tによって記述される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N=2超対称SU(n)ヤンミルズ理論の量子モジュライ空間は、SU(2)の場合からどのように一般化されるか？
• RQ2 モジュライ空間における周期(a_D, a)に作用するモノドロミー群の構造は何か？
• RQ3 BPS状態の電気的および磁気的量子数は、モノドロミー行列にどのように符号化されているか？
• RQ4 異なるパrameter平面（例：u平面対v平面）におけるモノドロミーとSU(n)のWeyl群との関係は何か？
• RQ5 v平面における古典的モノドロミーは、Weyl群のコックスター要素とどのように関係しているか？

主な発見

• SU(n)ヤンミルズ理論の量子モジュライ空間は、BPS状態が質量ゼロになる点に特異点を持つ、genus n−1 のハイパーエリプティックリーマン面の族である。
• モノドロミー群はΓ₀(4) ⊂ SL(2,Z)に特定され、周期(a_D, a)に作用する。これは、電磁荷(g;q) = (1;−4n)および(1;−2−4n)に対応するモノドロミー行列によって生成される。
• u平面における無限大回りのモノドロミーは6つの局所的モノドロミー行列の積であり、基底変換を除いて半古典的モノドロミーM_∞ = (−1 −4; 0 −1)と一致する。
• v平面では、全モノドロミーはSU(3)のWeyl群のコックスター要素r₁r₂であり、位数3で分岐切断の巡回的回転に対応する。
• u平面における古典的モノドロミーはWeyl群生成子に共役であり、v平面ではコックスター要素である。このパターンはSU(n)へ一般化され、トップカシミールパラメータが位数nのモノドロミーを誘導する。
• Λ平面における原点回りのループはコックスターモノドロミーを再現し、量子補正は行列Tによって記述される。全モノドロミーは古典的および量子寄与の積として得られる。