[論文レビュー] On the monodromy group of the family of smooth plane curves

Nick Salter|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2016

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、5次平面上曲線の族のモノドロミー群を決定し、それが genus 6 の写像類群における特定の奇数パリティを持つスピン構造の安定化部分群に等しいことを示している。L"onner と Johnson のトーリー群理論に基づく代数的幾何的技法の組み合わせにより、モノドロミー表現の像に属する要素に対する唯一の障害がそのスピン構造であることを証明し、平面上曲線のモノドロミー理論における重要なケースを解決した。

ABSTRACT

We consider the space of smooth complex projective plane curves of degree d. Defined over this is the tautological family of plane curves, and hence there is a monodromy representation into the mapping class group of the fiber. We show two results concerning this monodromy group. First, we show that the presence of an invariant known as a "n-spin structure" constrains the image in ways not predicted by previous work of Beauville. Second, we show that for degree d=5, our invariant is the only obstruction for a mapping class to be contained in the image. This requires combining the algebro-geometric work of Lönne with Johnson's theory of the Torelli subgroup of the mapping class group.

研究の動機と目的

• 平面上曲線の族のモノドロミー表現 $\rho_d: \pi_1(\mathcal{P}_d) \to \operatorname{Mod}(\Sigma_g)$ の像を特定すること。
• シンプレクティック表現 $\Psi \circ \rho_d$ では検出できない、幾何的または位相的不変量が $\rho_d$ の像を制約する仕組みを同定すること。
• $d=5$ の場合を解明し、$\rho_5$ の像が genus 6 の写像類群における古典的奇数パリティスピン構造の安定化部分群に丁度一致することを示すこと。
• $d=5$ の場合に、スピン構造による障害が、$\rho_5$ の像に属する要素であるための必要十分条件であることを示し、モノドロミー理論における重要なケースを閉じること。

提案手法

• canonical bundle の $(d-3)$ 乗根に対応する $H^1(T^{*,1}\Sigma_g; \mathbb{Z}/(d-3)\mathbb{Z})$ 内のコhomology類 $\phi_d$ を構成し、$n = d-3$ に対応する $n$-スピン構造を定義する。
• Humphries-Johnson の研究による $n$-スピン構造の位相的解釈を用い、$\operatorname{Im}(\rho_d)$ による不変性が、シンプレクティック表現よりも強い制約をもたらすことを示す。
• L"onner の smooth 超曲面のモジュライ空間の基本群の提示を用い、Picard-Lefschetz生成子がモノドロミー群内でのディーンツイストとして特定されることを同定する。
• Johnson のトーリー群の生成系を用い、各チェーンの境界曲線の平方が像に属することを確認することで、全 4470 個の生成子が $\operatorname{Im}(\rho_5)$ に属することを検証する。
• トーリー群生成子の検証に必要なケース数を減らすために、新しい genus-$g$ スターリレーションを導入し、計算を実行可能にする。
• 配置を共役化して $\beta$-チェーン写像の検証を簡略化し、既知の $T_b^2$ と $T_{c_i}$ の像への属性を用いて、境界曲線の平方が $\operatorname{Im}(\rho_5)$ に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック表現 $\Psi \circ \rho_d$ では検出できない、$\rho_d$ の像を制約する幾何的または位相的不変量は何か？
• RQ2 $d=5$ の場合、奇数パリティスピン構造の安定化部分群は、$\operatorname{Mod}(\Sigma_6)$ 内で $\rho_5$ の像を完全に特定するか？
• RQ3 トーリー群の生成子は、5次平面上曲線の族においてモノドロミー変換として実現可能か？
• RQ4 $d=5$ の場合、$\operatorname{Mod}(\Sigma_g)$ の要素が $\operatorname{Im}(\rho_d)$ に属するための唯一の障害は $n$-スピン構造の障害であるか？
• RQ5 平面上曲線のモジュライ空間の基本群は、ディーンツイスト関係式を用いてモノドロミー像を再構成するためにどのように利用可能か？

主な発見

• $d \geq 4$ の場合、$\rho_d$ の像は、$n = d-3$ に対応する特定の $n$-スピン構造を安定化する有限指数部分群 $\operatorname{Mod}(\Sigma_g)[\phi_d]$ に含まれており、Beauville の上界が鋭くないことを示している。
• $d \geq 6$ の場合、包含関係 $\operatorname{Im}(\rho_d) \subsetneqq \Psi^{-1}(\Psi(\operatorname{Im}(\rho_d)))$ が成り立つ。これは、ホモロジー的不変量だけではモノドロミー像が決定されないことを証明している。
• $d=5$ の場合、モノドロミー像 $\operatorname{Im}(\rho_5)$ は、奇数パリティスピン構造の安定化部分群 $\operatorname{Mod}(\Sigma_6)[\phi_5]$ に等しく、これが唯一の障害であることが確立された。
• 著者らは、各チェーンの境界曲線の平方が像に属することを確認することで、genus 6 の Johnson トーリー群の全 4470 個の生成子が $\operatorname{Im}(\rho_5)$ に属することを検証した。この際、新しい genus-$g$ スターリレーションを用いた。
• 証明は、配置を共役化してケース数を削減し、$T_b^2, T_{c_i} \in \operatorname{Im}(\rho_5)$（$1 \leq i \leq 12$）であるという事実を用い、チェーン関係式によりバウンディングペア写像の検証を可能にした。
• この結果により、5次曲線の場合、平面性がモノドロミーに制限的でないことが確認された。なぜなら、スピン構造の制約のもとで、モノドロミー群は可能な限り大きく保たれるからである。