[論文レビュー] On the Monomiality of Nice Error Bases

Andreas Klappenecker, Martin Roetteler|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2003

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、シュリンゲマンとヴェルナーの予想とは対照的に、すべての良い誤り基底がシフト・アンド・乗算基底に同値であるとは限らないことを証明することで、量子情報理論における未解決問題を解決する。群表現論を用いて、次元165における明示的な反例を構成し、非単項式の良い誤り基底の存在を示している。また、すべての良い誤り基底が、少なくとも半数の行列要素がゼロである疎行列表現を有することも示している。

ABSTRACT

Unitary error bases generalize the Pauli matrices to higher dimensional systems. Two basic constructions of unitary error bases are known: An algebraic construction by Knill, which yields nice error bases, and a combinatorial construction by Werner, which yields shift-and-multiply bases. An open problem posed by Schlingemann and Werner (see http://www.imaph.tu-bs.de/qi/problems/6.html) relates these two constructions and asks whether each nice error basis is equivalent to a shift-and-multiply basis. We solve this problem and show that the answer is negative. However, we also show that it is always possible to find a fairly sparse representation of a nice error basis.

研究の動機と目的

• シュリンゲマンとヴェルナーが提起した、良い誤り基底とシフト・アンド・乗算基底の同値性に関する未解決問題を解決すること。
• すべての良い誤り基底が、各行および各列に高々1つの非ゼロ要素を持つ単項式行列として表現可能かどうかを特定すること。
• 高次元における良い誤り基底の構造的制限および表現を調査すること。
• すべての良い誤り基底がシフト・アンド・乗算基底に同値であるという予想に対する明示的な反例を構成すること。
• すべての良い誤り基底が単項式でないものの、少なくとも50％のゼロ要素を持つ比較的疎な行列表現を有することを示すこと。

提案手法

• 群 $ G = (H_5 \times H_{11}) \rtimes_\varphi H_3 $ の射影的表現を用いてユニタリ誤り基底を構成する。ここで $ H_p $ は位数 $ p^3 $ のヘイゼンベルク群である。
• 離散フーリエ変換 $ F_p $ と対角行列 $ D_p $ を用いて $ H_p $ の自己同型を実現し、半直積構造を可能にする。
• 行列の共役作用を用いて $ H_3 $ が $ H_5 \times H_{11} $ に作用することを実装し、生成子を $ R_5 $ と $ R_{11} $ を用いて表現することで、群が非アーベル的かつ非単項的であることを保証する。
• $ H_3 $、$ H_5 $、$ H_{11} $ の表現を組み合わせることで、次元165の忠実な無限可約表現を導出し、非単項式のユニタリ誤り基底を得る。
• ユニタリ共役と位相乗算を用いた同値関係を適用し、構成された基底をシフト・アンド・乗算型と比較する。
• 中心拡大と射影的表現を含む群論的道具を用いて、構成された基底が良い誤り基底の条件を満たすが、いかなるシフト・アンド・乗算基底とも同値でないことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての良い誤り基底はシフト・アンド・乗算基底に同値か？
• RQ2 良い誤り基底は単項式行列を用いて表現可能か？
• RQ3 小さな次元を超えた良い誤り基底の構造的複雑性は何か？
• RQ4 良い誤り基底でもなく、シフト・アンド・乗算基底でもないユニタリ誤り基底は存在するか？
• RQ5 ユニタリ誤り基底の表現で達成可能な最小のスパarsity（疎らかさ）は何か？

主な発見

• この論文は、予想に対する明示的な反例を構成している：シフト・アンド・乗算基底に同値でない、次元165の良い誤り基底。
• 構成された誤り基底は、非単項的かついかなるシフト・アンド・乗算基底とも同値でない群 $ (H_5 \times H_{11}) \rtimes_\varphi H_3 $ の忠実な無限可約表現から生じる。
• 著者らは、すべての良い誤り基底が、少なくとも半数の行列要素がゼロである表現を有することを証明している。これは、構造的疎らかさの一種を示している。
• この研究は、シフト・アンド・乗算基底とすべての良い誤り基底が同値でないことが確認されており、逆に言えば、両者の構成法は一元的に同値ではないことを示している。
• 結果として、良い誤り基底が低次元では代数的に単純に見えるものの、必ずしも単項式構造を取るわけではないことが示唆される。
• 反例は群表現と、離散フーリエ変換および対角行列を用いた共役による自己同型の実装を用いて構築されており、中心型の非自明な表現を示している。