[論文レビュー] On the Mori cone of blow-ups of the plane

Tommaso de Fernex|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、非常に一般な点における射影平面のブ low-up におけるモアリ錐に関するSegre-Harbourne-Gimigliano-Hirschowitz (SHGH) 予想の誤解を是正する。K-負 extremal レイと有効錐の幾何の相互作用を分析することで、r ≥ 10 の場合、モアリ錐は可算生成でなく、K-正部分は円形でないことが証明される—これは以前に示唆された同値性とは反する。主な結果として、r ≥ 10 のとき、モアリ錐の境界には非可算無限個の extremal レイが存在することが示される。

ABSTRACT

We discuss some properties of the extremal rays of the cone of effective curves of surfaces that are obtained by blowing up the projective plane at points in very general position. The main motivation is to rectify an incorrect interpretation, in terms of the geometry of this cone, of the Segre--Harbourne--Gimigliano--Hirschowitz conjecture. Even though the arguments are based on elementary computations, the point of view leads to observe some other properties of the Mori cone, among which the fact that in the case of ten or more points the cone is not countably generated.

研究の動機と目的

• 非常に一般な点におけるP²のブロー・アップのモアリ錐幾何学的解釈におけるSHGH予想の誤った解釈を是正すること。
• K-負 extremal レイとモアリ錐の構造、特にK-正部分との関係を明確化すること。
• r ≥ 10 のとき、K-正部分がQ ∩ K≥0に等しくない（すなわち円形でない）ことを示すこと—これは以前に示唆された同値性とは反する。
• r ≥ 10 のとき、K-垂直境界に非可算無限個の extremal レイが存在するため、モアリ錐が可算生成でないことを確立すること。

提案手法

• P²の非常に一般な点r個におけるブロー・アップXのモアリ錐を、N₁(X)における双対性と錐定理を用いて分析する。
• K-負 extremal レイが(−1)-曲線によって張られることを用い、負の自己交叉を持つ有理曲線に関する既知の結果を適用する。
• Yを10個の点におけるブロー・アップとする写像g: X → Yを用いた収縮写像を適用し、問題を低ランクの場合に還元する。
• Yからのネフクラスを引き上げることで、K_Yに直交し、(−1)-レイの張る空間に属さないクラスを用い、非可算無限個の extremal レイをモアリ錐の境界に構成する。
• r ≥ 10 における帰納法を用い、ブロー・ダウン写像によるクラスの押し出しを用いて、特定のレイがK-負およびK-正成分に分解できないことを示す。
• クラスαがα² = 0およびK·α = 0を満たし、ネフであれば、適切な条件下で、Nef(X)およびNE̅(X)の両方で extremal レイを張ることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P²の非常に一般な点r ≥ 10個におけるブロー・アップのモアリ錐のK-正部分は、二次錐QとK≥0の共通部分に等しいか？
• RQ2 SHGH予想は、r ≥ 10 に対してモアリ錐の境界が円形であることを示唆するか？
• RQ3 r ≥ 10 のとき、モアリ錐に非可算無限個の extremal レイが存在するか？
• RQ4 r ≥ 10 に対して、K-負フェースが存在することは、錐が円形でなくなるのを防ぐか？
• RQ5 r ≥ 10 の非常に一般な点におけるブロー・アップのモアリ錐は可算生成ではないか？

主な発見

• r ≥ 10 のとき、モアリ錐のK-正部分はQ ∩ K≥0よりも厳密に大きいので、錐は円形でない。
• r ≥ 10 のとき、モアリ錐の境界に非可算無限個の extremal レイが存在するため、P²の非常に一般な点r個におけるブロー・アップのモアリ錐は可算生成でない。
• αがYにおけるクラスの引き戻しでα² = 0およびK·α = 0を満たすとき、R = R(α)はNE̅(X)およびNef(X)の両方の extremal レイであり、任意の(−1)-レイの張る空間に属さない。
• r = 10 のとき、K-正部分が円形であることは(−1)-曲線予想が成り立つことと同値であるが、r > 10 には拡張されない。
• r ≥ 10 に対して、K-正部分が円形（すなわちQ ∩ K≥0に等しい）という仮定は誤りであり、これは以前に示唆された同値性と矛盾する。
• r ≥ 10 において、K-垂直境界に非可算無限個の extremal レイが存在することは、錐が可算生成でないことを示唆する。