[論文レビュー] On the Morita Reduced Versions of Skew Group Algebras of Path Algebras

Patrick Le Meur|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、有限群作用下のクーヴァー Q のスケュー群代数 kQ∗G の特定の冪等元 e に対して、Morita 減少数代数 eRe の元を分解する明示的公式を提供する。頂点安定化群の群代数上の有限次元双モジュールのモノイダル圏における合成とペアリングを解釈することで、経路代数 kQG と eRe の明示的同型写像を導出し、特に Calabi-Yau および Ginzburg dg 代数に特に関連する、Morita 同値下でのポテンシャルの明示的計算を可能にする。

ABSTRACT

Let R be the skew group algebra of a finite group acting on the path algebra of a quiver. This article develops both theoretical and practical methods to do computations in the Morita reduced algebra associated to R. Reiten and Riedtmann proved that there exists an idempotent e of R such that the algebra eRe is both Morita equivalent to R and isomorphic to the path algebra of some quiver which was described by Demonet. This article gives explicit formulas for the decomposition of any element of eRe as a linear combination of paths in the quiver described by Demonet. This is done by expressing appropriate compositions and pairings in a suitable monoidal category which takes into account the representation theory of the finite group.

研究の動機と目的

• デモネーが構成したクーヴァー QG の経路代数 kQG とモーリタ減少数代数 eRe 間の明示的同型写像の欠如を解消すること。
• eRe の元を QG の経路の線形結合として表現する計算フレームワークを提供すること。これは、Calabi-Yau 代数および Ginzburg dg 代数への応用にとって不可欠である。
• このような分解における係数を、特に双モジュール圏内の不変写像を用いて、頂点安定化群の表現論によって解釈すること。
• 与えられた G-不変ポテンシャル W に対して、モーリタ同値下での Ginzburg dg 代数における変換されたポテンシャル WG のアルゴリズム的または手動による計算を可能にすること。
• |G|=2 または巡回群の場合の先行結果（例えばポテンシャルの上昇）を、任意の有限群および任意の安定化構造に一般化すること。

提案手法

• 頂点 i の安定化群 Gi の表現論を用いて、可約表現および誘導された双モジュールを用いてクーヴァー QG を構成する。
• A を安定化群の群代数の積とするとき、モノイダル圏 (mod(Ae), ⊗A) を定義し、eRe における経路の合成をモデル化する。
• HomkGi(U, M(i0,…,in;V)) 内の不変写像を用いて QG の矢印を表現し、eRe における経路の合成を符号化する。
• 各 QG の経路 γ に対して不変写像 fγ ∈ Intw への写像 Φ: kQG → eRe を定義し、明示的ペアリング (fγ|ϕγ′) = δγ,γ′ を得る。
• 次数 n の同次成分が、次数付きモーリタ同値を介して同型な次元を持つことにより、Φ が同型写像であることを確認する。
• Ξ: Intw → eRe を Ξ(f) = f(εU) で定義する k-代数同型写像を定義し、QG の経路の像が eRe におけるwell-definedな元に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 kQG ≅ eRe の同型写像が与えられたとき、eRe の元を QG の経路の線形結合として明示的に表現する方法は何か？
• RQ2 頂点安定化群 Gi の表現論は、このような経路分解における係数を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 kQG と eRe 間の同型写像を、計算用途に実装可能なものとすることができるか？
• RQ4 双モジュール圏における自然な演算（合成およびペアリング）は、QG における経路演算にどのように翻訳されるか？
• RQ5 非アーベル的または非巡回的群作用においても、Q 上の G-不変ポテンシャル W から QG 上の変換されたポテンシャル WG を明示的に計算できるか？

主な発見

• 本稿は、QG の各経路 γ に対して特定の不変写像 fγ ∈ Intw への写像 Φ: kQG → eRe を構成し、(fγ|ϕγ′) = δγ,γ′ を満たすことで、単射性を証明する。
• kQG と Intw の次数 n の同次成分は同型な次元を持つため、Φ が次数付き k-代数の同型写像であることが確認される。
• 同型写像 Φ は、Ξ(f) = f(εU) で定義される k-代数同型写像 Ξ: Intw → eRe を通じて実現され、不変写像を eRe の元へ写像する。
• eRe の任意の元の経路分解における係数は、HomkGi(U, M(i0,…,in;V)) 内の不変写像の行列係数として解釈され、表現論と結びつく。
• 特に、群作用が矢印をスカラー乗法で置換し、安定化群が巡回群であるような特殊な場合、公式は組合せ論的に簡略化される。
• 本結果により、任意の G-不変ポテンシャル W に対して、A(QG, WG) が A(Q, W)∗G とモーリタ同値となる WG の計算が完全に可能になる。