[論文レビュー] On the Motion of a Self-Gravitating Incompressible Fluid with Free Boundary and Constant Vorticity: An Appendix

Lydia Bieri, Shuang Miao+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、自由境界を持つ自己重力的非圧縮性流体の先行研究を、一定の渦度を組み込んで拡張し、平衡状態の $ \epsilon $ 大きさの摂動に対する解の生存期間が $ T \gtrsim \epsilon^{-2} $ で下から有界であることを示している。著者らは非圧縮流体の非線形座標変換とエネルギー法を、渦度がゼロでない場合に適応させ、一定渦度が生じる項が有界な線形項にしか寄与せず、さらに線形変換によって除去可能であることを示した。これにより、変換後の系において二次非線形項が存在しないことが保証され、元のエネルギー推定法がそのまま適用可能となる。

ABSTRACT

In a recent work [1] the authors studied the dynamics of the interface separating a vacuum from an inviscid incompressible fluid, subject to the self-gravitational force and neglecting surface tension, in two space dimensions. The fluid is additionally assumed to be irrotational, and we proved that for data which are size $ε$ perturbations of an equilibrium state, the lifespan $T$ of solutions satisfies $T \gtrsim ε^{-2}$. The key to the proof is to find a nonlinear transformation of the unknown function and a coordinate change, such that the equation for the new unknown in the new coordinate system has no quadratic nonlinear terms. For the related irrotational gravity water wave equation with constant gravity the analogous transformation was carried out by the last author in [3]. While our approach is inspired by the last author's work [3], the self-gravity in the present problem is a new nonlinearity which needs separate investigation. Upon completing [1] we learned of the work of Ifrim and Tataru [2] where the gravity water wave equation with constant gravity and constant vorticity is studied and a similar estimate on the lifespan of the solution is obtained. In this short note we demonstrate that our transformations in [1] can be easily modified to allow for nonzero constant vorticity, and a similar energy method as in [1] gives an estimate $T\gtrsimε^{-2}$ for the lifespan $T$ of solutions with data which are size $ε$ perturbations of the equilibrium. In particular, the effect of the constant vorticity is an extra linear term with constant coefficient in the transformed equation, which can be further transformed away by a bounded linear transformation. This note serves as an appendix to the aforementioned work of the authors.

研究の動機と目的

• 自由境界を持つ自己重力的非圧縮性流体に対する生存期間推定 $ T \gtrsim \epsilon^{-2} $ を、非ゼロの一定渦度の場合に拡張すること。
• 先行研究[1]で開発された非線形変換とエネルギー法が、一定渦度を含む場合に適応可能であることを示し、渦度項が有界な線形摂動のみをもたらすことを証明すること。
• 変換後の系が二次非線形項を含まないことを証明し、これにより元のエネルギー推定と生存期間の下界が保たれることを保証すること。
• 条件 $ \omega_0^2 < \pi $ の下で、ターレーの符号条件が依然として成立することを確立すること。これは局所的良設定性に不可欠である。

提案手法

• 非圧縮流体の非線形変換と座標変換を、速度場に一定渦度項 $ 2\omega_0 $ を含める形に拡張する。
• 速度を $ \mathbf{v} = \mathbf{v}_0 + \mathfrak{v} $ と分解し、$ \mathbf{v}_0 = \omega_0(y, -x) $ とすることで、渦度寄与を分離する。
• 複素変数形式を用い、ヒルベルト変換 $ H $ を導入し、境界上で $ (I - \overline{H})(z_t + i\omega_0 z) = 0 $ が成り立つことを示す。
• 時間依存変換 $ \tilde{\delta} = e^{-i\omega_0 t} \delta $ を用いて新たな未知関数 $ \tilde{\delta} $ を導入し、方程式から振動位相を除去する。
• 二次非線形項を含まない形の変換系 $ (\partial_t^2 + ia\partial_\alpha - (\pi - \omega_0^2))\tilde{\delta} = \widetilde{\mathcal{M}}_1 $ を導出する。
• エネルギー推定におけるすべての非線形項が三次以上であることを確認し、これにより $ \epsilon^{-2} $ の生存期間下界が保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮流体の自由境界問題において、非圧縮流体の非線形変換とエネルギー法が、一定渦度を含む場合に拡張可能かどうか。
• RQ2 一定渦度の存在が、$ \epsilon^{-2} $ の生存期間推定を無効にする二次非線形項をもたらすかどうか。
• RQ3 渦度項が境界方程式の構造とヒルベルト変換フレームワークの適用性に与える影響は。
• RQ4 条件 $ \omega_0^2 < \pi $ の下で、ターレーの符号条件が依然として満たされるかどうか。これは局所的良設定性に不可欠である。
• RQ5 線形渦度項が、新たな非線形項を導入せずに、有界な線形変換によって除去可能かどうか。

主な発見

• 自由境界を持つ自己重力的非圧縮性流体に一定渦度を含む場合、平衡状態の $ \epsilon $ 大きさの摂動に対する解の生存期間は $ T \gtrsim \epsilon^{-2} $ を満たす。
• 一定渦度項は、変換後の方程式において有界な線形項にしか寄与せず、有界な線形変換によって除去可能である。
• 変換後、系の非線形構造は二次非線形項を含まず、非圧縮流体の非線形項がゼロの場合と同様のエネルギー法フレームワークを維持する。
• 変換後の系のエネルギー推定は、非圧縮流体の非線形項がゼロの場合と同一の形をとり、同じ定量的生存期間下界が保証される。
• エネルギー推定におけるすべての非線形寄与が三次以上であることを確認し、一定渦度の導入に対しても $ \epsilon^{-2} $ の下界が頑健であることが確認された。
• 条件 $ \omega_0^2 < \pi $ が、局所的良設定性に不可欠なターレーの符号条件の有効性を保証するのに十分である。