[論文レビュー] On the multipacking number of grid graphs

Laurent Beaudou, Richard C. Brewster|HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe)|Mar 26, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、高さ ≥ 4、幅 ≥ 7 のすべての大きなグリッドグラフにおいて、多重パッキング数がブロードキャスト支配数に等しいことを確立し、弦的グラフを超えるグラフ理論における双対性結果を証明している。著者らは、グリッドの境界上での構造的頂点選択を用いて明示的な多重パッキングを構成しているが、4×6グリッドを除き、この場合の多重パッキング数は4、ブロードキャスト数は5である。

ABSTRACT

In 2001, Erwin introduced broadcast domination in graphs. It is a variant of classical domination where selected vertices may have different domination powers. The minimum cost of a dominating broadcast in a graph $G$ is denoted $γ_b(G)$. The dual of this problem is called multipacking: a multipacking is a set $M$ of vertices such that for any vertex $v$ and any positive integer $r$, the ball of radius $r$ around $v$ contains at most $r$ vertices of $M$ . The maximum size of a multipacking in a graph $G$ is denoted mp(G). Naturally mp(G) $\leq γ_b(G)$. Earlier results by Farber and by Lubiw show that broadcast and multipacking numbers are equal for strongly chordal graphs. In this paper, we show that all large grids (height at least 4 and width at least 7), which are far from being chordal, have their broadcast and multipacking numbers equal.

研究の動機と目的

• 非弦的グラフにおいて、多重パッキング数（mp）とブロードキャスト支配数（γb）が等しくなる条件を特定すること。
• 強く弦的グラフに既知のmpとγbの等価性を、より広いクラスのグラフ、特にグリッドグラフへと拡張すること。
• 特に大きな長大なグリッドにおいて、多重パッキングとブロードキャスト支配の間の双対性ギャップを解消すること。
• グリッド境界上の明示的多重パッキング構成を用いた等価性の構成的証明を提供すること。
• mp < γb となる例外的な場合、特に4×6グリッドを特定・解消すること。

提案手法

• グリッドの上部および下部の境界に沿って、毎3頂点ごとに頂点を選択することで多重パッキングを構成する。
• グリッドの水平側面に沿った等長路を用い、半径rの任意のボール内に選択された頂点数を抑え、補題3を適用する。
• 中心の縦位置と次元の偶奇に基づくケース別分析を用いて、上部および下部のパスとのボールの交差を分析する。
• 交差サイズの上限を補正するために床関数を適用し、任意のボールがr個を超える多重パッキングの頂点を含まないよう保証する。
• SageMathを用いて6×6、8×6、12×6などの小さなケースを計算で検証し、4×6グリッドが唯一の例外であることを確認する。
• 既知のブロードキャスト数の公式（γb(Pn□Pm) = ⌊n/2⌋ + ⌊m/2⌋）を用いて、構成された多重パッキングのサイズを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの非弦的グラフにおいて、多重パッキング数がブロードキャスト支配数に等しくなるか？
• RQ2 多重パッキングとブロードキャスト支配の双対性を強く弦的グラフを超えて拡張可能か？
• RQ3 グリッドグラフのどのような構造的性質が、弦的でないにもかかわらずmp(G) = γb(G)を可能にするか？
• RQ4 境界上の頂点のみを用いた、グリッドグラフにおける最大多重パッキングの体系的構成は可能か？
• RQ5 グリッドグラフにおいてmp(G) < γb(G) となる例外的なケースは何か？

主な発見

• n ≥ 4 かつ m ≥ 7（または n ≥ 7 かつ m ≥ 4）のすべてのグリッドグラフ Pn□Pm において、mp(Pn□Pm) = γb(Pn□Pm) が成り立つ。
• 唯一の例外は 4×6 グリッドであり、mp(P4□P6) = 4 かつ γb(P4□P6) = 5 である。
• 4×n グリッドの多重パッキング数は、n が偶数で n ≥ 4 のとき、2n/5 を切り上げたものであり、n = 6 を除く。
• n が偶数で n ≥ 8 の6×n グリッドでは、mp(P6□Pn) = n/2 + 3 が成り立ち、n ≠ 6, 8, 12 のとき有効である。
• グリッド境界上に (2k′−3)- または (2k′−1)-パターンを用いた多重パッキングの構成により、半径rの任意のボールにr個を超える集合の頂点が含まれないことが保証される。
• 本証明により、ブロードキャスト数の公式 γb(Pn□Pm) = ⌊n/2⌋ + ⌊m/2⌋ が別証明可能である。