[論文レビュー] On the multiple holomorph of a finite almost simple group

Cindy Tsang|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Finite Group Theory Research参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、任意の有限ほとんど単純群 $G$ に対して、商群 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ が位数 2 であることを証明し、非可換単純群と同様の構造的剛性を確立する。証明は、ホロモーフ内での固定点自由自己準同型および正規部分群の分析に依拠し、$\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ を用いた同型型のホップ・ガロア構造の数え上げ公式を導く。

ABSTRACT

Let $G$ be a group. Let $\mathrm{Perm}(G)$ denote its symmetric group and write $\mathrm{Hol}(G)$ for the normalizer of the subgroup of left translations in $\mathrm{Perm}(G)$. The multiple holomorph $\mathrm{NHol}(G)$ of $G$ is in turn defined to be the normalizer of $\mathrm{Hol}(G)$ in $\mathrm{Perm}(G)$. In this paper, we shall show that the quotient group $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ has order two when $G$ is finite and almost simple. As an application of our techniques, we shall also develop a method to count the number of Hopf-Galois structures of isomorphic type on a finite almost simple extension in terms of fixed point free endomorphisms.

研究の動機と目的

• 有限ほとんど単純群 $G$ に対して、単純群やアーベル群に対して既知の結果を拡張する形で、多重ホロモーフ $\mathrm{NHol}(G)$ の構造を特定すること。
• 群 $G$ に同型な $\mathrm{Hol}(G)$ の正規部分群の集合 $\mathcal{H}_2(G)$ を理解し、それを固定点自由自己準同型を用いてその大きさを計算すること。
• 有限ほとんど単純拡大における同型型のホップ・ガロア構造の数え上げ法を、群 $G$ の自己準同型構造を用いて開発すること。
• 非可換単純群において観察された現象（$\mathcal{H}_0(G) = \{\lambda(G), \rho(G)\}$ かつ $T(G) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$）を、より広いほとんど単純群のクラスに一般化すること。

提案手法

• 定義 $\mathrm{NHol}(G) = \mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(\mathrm{Hol}(G))$ を導入し、その $\mathcal{H}_0(G)$ への作用を分析する。ここで $\mathcal{H}_0(G)$ は、$\mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(N) = \mathrm{Hol}(G)$ を満たす正規部分群 $N \leq \mathrm{Perm}(G)$ の集合である。
• 写像 $\xi_N: N \to G$ によって誘導される $\mathrm{Perm}(N) \to \mathrm{Perm}(G)$ の同型 $\Xi_N$ を用い、$\mathrm{Hol}(N)$ を $\mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(N)$ と関連づけ、$N \in \mathcal{H}_0(G)$ のとき $\mathrm{Hol}(N) \simeq \mathrm{Hol}(G)$ を導出する。
• 固定点自由なペア $(f, h) \in \mathrm{End}(G) \times \mathrm{Aut}(G)$、すなわちすべての $g \in G$ に対して $f(g)h(g) \neq g$ を満たすものによって、$\mathrm{Hol}(G)$ の $G$ に同型な正規部分群を特徴付ける。
• このような固定点自由ペアと $\mathrm{Hol}(G)$ 内の正規部分群との間に全単射を確立し、公式 $\#\mathcal{H}_2(G) = 2 \cdot \#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ を導出する。
• 有限単純群の分類定理（CFSG）を含む群論的道具を用い、$[G:\mathrm{Soc}(G)] = p$ が素数である場合の $\mathrm{Soc}(G)$ 及びその部分群の構造を分析する。
• 補題 5.4 を用い、$\#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ を、指数 $p$ の正規部分群 $H \trianglelefteq G$ について和を取ることで計算し、生成元 $\sigma$ が $H$ に属するか否かに応じた場合分けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限ほとんど単純群 $G$ に対して、多重ホロモーフ $\mathrm{NHol}(G)$ の構造は何か？
• RQ2 群 $G$ に同型な $\mathrm{Hol}(G)$ の正規部分群の集合 $\mathcal{H}_2(G)$ の大きさは、$G$ の自己準同型構造とどのように関係するか？
• RQ3 有限ほとんど単純拡大における同型型のホップ・ガロア構造の数は、固定点自由自己準同型を用いて計算可能か？
• RQ4 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ は、非可換単純群と同様に、すべての有限ほとんど単純群に対して位数 2 であるか？

主な発見

• 任意の有限ほとんど単純群 $G$ に対して、商群 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ は位数 2 であり、すなわち $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。これは、非可換単純群に対して既知の結果を一般化する。
• $\mathrm{Hol}(G)$ の $G$ に同型な正規部分群の数は、$\#\mathcal{H}_2(G) = 2 \cdot \#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ で与えられ、ここで $\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ は $G$ の固定点自由自己準同型の集合を表す。
• $\mathrm{Soc}(G)$ が $G$ において素数 $p$ の指数を持つとき、固定点自由自己準同型の数は $\#\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G) = \#\{\sigma \in \mathrm{Soc}(G) : |\sigma| = p\} + \frac{p-2}{p-1} \cdot \#\{\sigma \in G \setminus \mathrm{Soc}(G) : |\sigma| = p\}$ である。
• $\mathrm{Norm}_{\mathrm{Perm}(G)}(N) = \mathrm{Hol}(G)$ を満たす正規部分群 $N \leq \mathrm{Perm}(G)$ の集合 $\mathcal{H}_0(G)$ は、$\mathrm{NHol}(G)$ の $\mathcal{H}_0(G)$ への作用の軌道と同一視可能であり、作用は正則であるため $T(G) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。
• 開発された手法により、$\mathrm{End}_{\mathrm{fpf}}(G)$ の濃度を用いて、有限ほとんど単純拡大における同型型のホップ・ガロア構造を明示的に数え上げることが可能になる。
• 単純な場合とは異なり、$\mathcal{H}_2(G)$ が大きくても、この結果は成り立つ。これは、部分群構造の複雑さにもかかわらず、商群 $\mathrm{NHol}(G)/\mathrm{Hol}(G)$ が小さく保たれることを示している。