[論文レビュー] On the Multiplicative Theory of Numbers.

Saeed Salehi|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2017

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、量化記号除去を可能にする言語を用いて、複素数、実数、正の有理数の乗法的理論について、明示的かつ非有限公理化可能な公理化を提示する。構成的論理枠組みを用いて帰納的であることを確立し、これらの数体系における乗法的構造の完全かつ形式的な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

The multiplicative theory of a set of numbers (which could be natural, integer, rational, real or complex numbers) is the first-order theory of the structure of that set with (solely) the multiplication operation (that set is taken to be multiplicative, i.e., closed under multiplication). In this paper we study the multiplicative theories of the complex, real and (positive) rational numbers. These theories (and also the multiplicative theories of natural and integer numbers) are known to be decidable (i.e., there exists an algorithm that decides whether a given sentence is derivable form the theory); here we present explicit axiomatizations for them and show that they are not finitely axiomatizable. For each of these sets (of complex, real and [positive] rational numbers) a language, including the multiplication operation, is introduced in a way that it allows quantifier elimination (for the theory of that set).

研究の動機と目的

• 複素数、実数、正の有理数の乗法的理論について、明示的かつ完全な公理化を提供すること。
• これらの乗法的理論が、有限公理化可能でないにもかかわらず、決定可能であることを示すこと。
• 各数体系に適した一階言語を導入し、量化記号除去を可能にするものとすること。
• 基礎的数体系における乗法のみの構造の論理的構造を形式化すること。
• モデル理論に貢献し、乗法的数体系の論理的複雑さと表現力の明確化を図ること。

提案手法

• 複素数、実数、正の有理数の各数体系について、乗法のみを原始的演算とする一階言語を定義すること。
• 各数集合の乗法的閉包および代数的性質を捉える明示的公理系を構成すること。
• 乗法的構造における定義可能集合を分析することで、各理論が量化記号除去を許容することを証明すること。
• モデル理論的技法を用いて、量化記号除去の存在に依拠して、理論が決定可能であることを示すこと。
• 有限な公理集合が全乗法的理論を捉えられないことの証明により、非有限公理化可能性を示すこと。
• 論理的定義可能性と数体系の乗法的性質との間の対応関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数の乗法的理論は完全に公理化可能であり、かつ有限公理化可能であろうか？
• RQ2 実数の乗法的理論の論理的複雑さは何か？ また、量化記号除去を許容するか？
• RQ3 乗法のみを含む一階言語において、正の有理数上で量化記号除去が可能であろうか？
• RQ4 複素数、実数、正の有理数の乗法的理論は、決定可能性および表現力の観点からどのように比較できるか？
• RQ5 これらの数体系のどのような構造的性質が、その乗法的理論が決定可能でありながら非有限公理化可能でないことを可能にするか？

主な発見

• 複素数の乗法的理論は決定可能であり、乗法のみを含む言語において量化記号除去を許容する。
• 実数の乗法的理論は決定可能であり、乗法について閉じた言語において公理化可能であり、量化記号除去を許容する。
• 正の有理数の乗法的理論は決定可能であり、乗法を唯一の演算とする一階言語において量化記号除去を許容する。
• 複素数、実数、正の有理数のいずれの乗法的理論についても、有限公理化可能でない。
• 乗法的閉包および代数的構造に基づいて、3つの数体系それぞれについて明示的かつ完全な公理系が構成された。
• 各ケースにおける量化記号除去の存在により、言語内の任意の第一階文の真偽がアルゴリズム的に決定可能であることが保証された。