[論文レビュー] On the multiplicity of reducible relative stable morphisms

Nobuyoshi Takahashi|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、対数カルラビ・ヤウ表面における genus 0 相対グロモフ＝ウィッテン不変量への可約相対安定準同型の寄与についての公式を確立する。2つの有理曲線 $C_1$ と $C_2$ が同じ点 $P$ で滑らかな反標準的除部分 $D$ に完全に接する場合、交点多重度が $\min\{D.C_1, D.C_2\}$ であると仮定すると、可約曲線 $C_1 \cup C_2$ の仮想的数え上げへの寄与はちょうど $\min\{D.C_1, D.C_2\}$ となる。これは、相対的数え上げ幾何における退化寄与の主要なケースを解決するものである。

ABSTRACT

Let $(Z, D)$ be a pair of a smooth surface and a smooth anti-canonical divisor. Denote by $\mathfrak{M}_β$ the moduli stack of genus $0$ relative stable morphisms of class $β$ with full tangency to the boundary. Let $C_1$ and $C_2$ be rational curves fully tangent to $D$ at the same point $P$ and assume that $C_1$ and $C_2$ are immersed and that $(C_1.C_2)_P=\min\{D.C_1, D.C_2\}$. Then we show that the contribution of $C_1\cup C_2$ to the virtual count of $\mathfrak{M}_{[C_1]+[C_2]}$ is $\min\{D.C_1, D.C_2\}$. As an example, we describe genus $0$ relative stable morphisms to $(\mathbb{P}^2, (\hbox{cubic}))$ of degree $4$ with full tangency, and examine how they contribute to the relative Gromov-Witten invariant.

研究の動機と目的

• 対数カルラビ・ヤウ表面における genus 0 相対グロモフ＝ウィッテン不変量への可約相対安定準同型の寄与を計算すること。
• 特に、同一の点で除部分に完全に接する有理曲線の対が、モジュライ空間の仮想サイクル内での多重度を解明すること。
• 非可約かつ非横断的構成への寄与を分析することで、非可約または多重被覆の範囲を超えた相対グロモフ＝ウィッテン不変量の理解を拡張すること。
• このような可約曲線の仮想多重度を明確な公式で与えること。これは、モジュライ理論的不変量と自明な数え上げの一致に不可欠である。

提案手法

• 本研究は、$Z$ を滑らかな曲面、$D$ を滑らかな反標準的除部分をもつペア $(Z,D)$ への genus 0 相対安定準同型に焦点を当てる。
• 特に、$C_1 \cup C_2$ のような可約曲線に対して、$D$ に完全に接するクラス $\beta$ の相対安定準同型のモジュライスタック $\mathfrak{M}_\beta$ を分析する。
• 主な技術的道具は仮想局所化技法であり、可約曲線が仮想基本クラスに与える寄与を計算するために用いられる。
• 交点多重度 $(C_1.C_2)_P = \min\{D.C_1, D.C_2\}$ の条件により、モジュライ空間内での横断性と孤立寄与が保証される。
• 複数被覆の公式 [GPS] を適用し、接点における交点多重度と寄与を関連付ける。
• 証明は、所定の接点と特異点を持つ曲線の線型系統の分析に依拠し、吹き上げと楕円曲線ファイブレーションを用いて基点を解消し、オイラー特徴標数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理曲線 $C_1$ と $C_2$ が同じ点で $D$ に完全に接するとき、$\mathbb{P}^1 \to Z$ への可約相対安定準同型 $f$ の像が $C_1 \cup C_2$ である場合、その genus 0 相対グロモフ＝ウィッテン不変量への寄与は何か？
• RQ2 交点多重度 $(C_1.C_2)_P$ は、モジュライ空間 $\mathfrak{M}_\beta$ 内でのこの可約曲線の仮想多重度にどのように影響するか？
• RQ3 このような可約曲線の寄与は、$D.C_1$ と $D.C_2$ の次数のみで表せるか？
• RQ4 どの幾何的条件下で、$C_1 \cup C_2$ に対応するモジュライ点が $\mathfrak{M}_\beta$ 内で孤立的かつ有限多重度を持つのか？
• RQ5 同じモジュライ空間内での非可約曲線の多重被覆の寄与と比べて、これらの寄与はどのように異なるか？

主な発見

• 所定の条件（完全接点、有理曲線、$P$ における横断的交点）のもとで、可約曲線 $C_1 \cup C_2$ が $\mathfrak{M}_{[C_1]+[C_2]}$ 内の仮想的数え上げに与える寄与は正確に $\min\{D.C_1, D.C_2\}$ である。
• $({\mathbb{P}}^2, \text{cubic})$ の場合、折りたたみ点で接する直線と三次曲線の和の寄与は 3 であり、$\min\{3,3\}$ に一致する。
• $({\mathbb{P}}^2, \text{cubic})$ における次数 4 の相対不変量では、$I_4 = \frac{36999}{4}$ が、非可約曲線と $L \cup C_1$ のような可約構成の寄与を合算することで回復され、後者の寄与は多重度 3 を示す。
• $P$ における次数 4 の相対安定準同型のモジュライ空間 $\tilde{M}_{4,P}$ は、$P - P_i$ の位数に応じて 8、14、または 16 個の要素を持ち、これらはねじれ点に均等に分布している。
• 楕円曲線 $D$ の $3d$-ねじれ点は、同じ数のインスタントン（すなわち寄与する曲線）を持つことが示され、ねじれ構造全体にわたる寄与の均等分布を示唆している。
• $D.C = w$ である有理曲線 $C$ の $d$ 重被覆の寄与は、公式 $M_w[d] = \frac{1}{d^2} \binom{d(w-1)-1}{d-1}$ で与えられ、本稿では $m_w[d]$ を各被覆ごとの「インスタントン」の数として定義しており、これは小規模な $w$ と $d$ に対して正の整数である。