[論文レビュー] On the multiplicity of zeros of the zeta-function

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Jan 25, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リーマン・ゼータ関数 $ζ(s)$ の零点の重複度に関する新たな上界を確立する。特に、大規模な重複度を持つ零点は、臨界線 $σ=1$ の左側に存在しなければならないことを示している。ジェンセンの公式とガンマ関数およびゼータ関数を含む積分表現を用いて、古典的推定値を改善した上界を導出している。特に、リンデルーフ予想とリーマン予想の下で顕著な改善が得られ、重複度を考慮した零点密度を数える関数 $N^{(r)}(\sigma,T)$ を導入している。

ABSTRACT

Several results are obtained concerning multiplicities of zeros of the Riemann zeta-function $ζ(s)$. They include upper bounds for multiplicities, showing that zeros with large multiplicities have to lie to the left of the line $σ= 1$. A zero-density counting function involving multiplicities is also discussed.

研究の動機と目的

• リーマン・ゼータ関数の非自明な零点の重複度 $m(\beta+i\gamma)$ に対する、未条件および条件付きの改善された上界を導出すること。
• 高重複度零点の位置を調査し、それらが $\sigma=1$ の左側に存在しなければならないことを示すこと。
• 重複度を考慮した零点密度を数える関数 $N^{(r)}(\sigma,T)$ を導入し、その性質を分析すること。
• リンデルーフ予想（LH）およびリーマン予想（RH）の下でのこれらの上界の意味を検討し、特に複数零点の分布に与える影響を明らかにすること。
• 既存の結果（特に古典的 $N(T)$ 公式および $S(T)$ のモーメント推定）と比較し、新規の上界の有効性を評価すること。

提案手法

• ゼータ関数を $1+i\gamma$ を中心とする円板上でジェンセンの公式に適用し、$\zeta(s)$ の正則性と $|\zeta(\sigma+i\gamma+it)|$ の既知の下界を用いる。
• ガンマ関数と指数的減衰を含む関数 $f_r(x)$ の積分表現を用い、複数零点の挙動をモデル化する。
• 係数 $a(n)$ を持つディリクレ級数 $M_X(s) = \sum_{n\leq X} \mu(n)n^{-s}$ を用いて、重複度と算術関数の和との関係を確立する。
• 複素平面における長方形 $\mathcal{D}$ を用いたコーシーの積分定理と留数定理を用いて、重複度 $r$ の零点を分離する。
• スターリングの公式および $\Gamma(s)$ と $\zeta(s)$ の推定値を用いて、積分の大きさを制御し、重複度の上界を抽出する。
• 関数 $f_r(x)$ に対して繰り返し部分積分を適用し、漸近的推定値を導出し、単調性および減衰性の性質を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゼータ関数 $\zeta(s)$ の零点の重複度 $m(\beta+i\gamma)$ に対する既知の最良の上界は何か？また、$\gamma$ に依存する仕組みは？
• RQ2 リンデルーフ予想やリーマン予想の下で、零点の重複度をよりきめ細かく制限できる条件は何か？
• RQ3 高重複度零点の位置を制限できるか？また、それらは臨界線から外れる必要があるか？
• RQ4 重複度 $r$ の零点を数える零点密度関数 $N^{(r)}(\sigma,T)$ は、$T \to \infty$ のときどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ5 $N^{(r)}(\sigma,T)$ の推定に用いられた手法は、既存のモーメントに基づく推定 $N_r(T) \ll N(T)e^{-C\sqrt{r}}$ よりも鋭い結果をもたらせるか？

主な発見

• 本稿では、$\frac{1}{2} < \beta < 1$ に対して、$m(\beta+i\gamma) \leq \frac{1}{\log \frac{1}{2-2\beta}} \left( \max_{\sigma \geq \frac{1}{2}, |t| \leq \frac{1}{2}} \log|\zeta(\sigma + i\gamma + it)| + O(\log\log\gamma) \right)$ という上界を確立し、これは自明な推定値を改善している。
• リンデルーフ予想の下では、上界は $\gamma \to \infty$ のとき $m(\beta+i\gamma) = o(\log\gamma)$ に改善され、この仮定の下では複数零点がまれであることを示している。
• リーマン予想の下では、上界は $m(\beta+i\gamma) \ll \frac{1}{\log\log\gamma} \log\gamma$ に改善され、この仮定の下でも複数零点は希少であることが示されている。
• 本稿では、重複度 $r$ の零点を数える零点密度関数 $N^{(r)}(\sigma,T)$ を導入し、$r \geq 2$ に対して $\lim_{T\to\infty} \frac{N^{(r)}(\sigma,T)}{N(\sigma,T)} = 0$ を示しており、複数零点の密度は無視できるほど小さいことを示唆している。
• 本手法により、固定された $r \geq 2$ に対して、古典的推定値よりも $\log^A T$ の要因だけ小さい上界が得られ、複数零点の密度推定値において顕著な改善が得られている。
• 未解決の推測 $m(\beta+i\gamma) \ll_\varepsilon (\log\log\gamma)^{1+\varepsilon}$ は、現実的ではあるが未証明であり、本稿では現在の手法では点ごとの $S(T)$ 推定値ではこの程度の上界に到達できないことを示している。