[論文レビュー] On the multivariate Burgers equation and the incompressible Navier-Stokes equation (Part II)

Joerg Kampen|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$L^∞ \times H^2$-推定と簡素化された制御関数を用いて、多変数バーガース方程式のグローバル数値スキームを非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式へ拡張する。レイリー射影形式と基本解の随伴を活用し、$H^1$で圧力勾配を制御することで、時間ステップ $ ho_l \sim 1/l$ における速度成分の線形増大を保証し、多項式減衰仮定に依存せずに一様なバウンディングとグローバル収束を達成する。

ABSTRACT

We consider global schemes with H2-estimates for the multivariate Burgers equation and the incompressible Navier-Stokes equation in its Leray projection form. We extend the definition of a global scheme and the global L2-theory of the multivariate Burgers equation to the incompressible Navier-Stokes equation, where we consider estimates of the gradient of the pressure in its Leray projection form in H1 at each time step of the scheme. The extended scheme has a simplified control function (simplified compared to [7]), which controls the growth of the Leray projection term. We use the fact that the data in our scheme are in H2 at each time step such that the data for the Poisson equation related to the elimination of pressure are in H1 at each approximation step. The upper bound of the growth of the velocity components is linear with respect to the time.

研究の動機と目的

• 多変数バーガース方程式のグローバル $L^2$-理論を、レイリー射影形式における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式へ拡張すること。
• 時間離散化スキームを用いて、ナビエ＝ストークス系における圧力勾配の $H^1$-推定を確立すること。
• 先行研究と比較して、レイリー射影項を支配する制御関数を簡素化し、継承された多項式減衰に依存しないようにすること。
• 時間ステップサイズ $\rho_l \sim 1/l$ を用いて速度成分の増大を制御することで、数値スキームのグローバル収束を保証すること。
• 線形化方程式の一次係数に一様なバウンディングを持つ、構成的かつ数値的に実行可能なスキームを提供すること。

提案手法

• 時間ステップサイズ $\rho_l \sim 1/l$ を用いた時間離散化グローバルスキームを用い、グローバル存在性と一様バウンディングを保証すること。
• 可変係数を有する放物型方程式の非畳み込み表現に、基本解の随伴を適用すること。
• レイリー射影形式における $H^1$-推定を用いて圧力勾配項を制御し、$H^2$-ノルムでの有界性を保証すること。
• 従来の研究で用いられた複雑な動的制御メカニズムを避ける、簡素化された制御関数を採用すること。
• 各時間ステップにおけるデータの $H^2$-正則性を活用し、圧力除去のためのポisson方程式のデータの $H^1$-正則性を保証すること。
• 時間ステップにおける $H^m$-ノルムでの速度成分の線形増大を確立し、線形化方程式の係数に一様バウンディングを導くこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多変数バーガース方程式のグローバル数値スキームを、$L^\infty \times H^2$-推定を用いて非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式へ拡張可能か？
• RQ2 各時間ステップにおいて、レイリー射影形式における圧力勾配項を $H^1$-ノルムでどのように制御できるか？
• RQ3 線形化された方程式の係数に一様バウンディングを保つために、最小の時間ステップサイズ $\rho_l$ は何か？
• RQ4 グローバル安定性を失うことなく、先行の動的制御スキームと比較して制御関数を簡素化可能か？
• RQ5 高階導関数の継承された多項式減衰仮定を仮定せずに、スキームはグローバルに収束するか？

主な発見

• 時間ステップサイズ $\rho_l \sim 1/l$ における $H^m$-ノルムでの速度成分の線形増大を達成し、グローバル存在性を保証する。
• 簡素化された制御関数は、多項式減衰仮定に依存せず、レイリー射影項を効果的に有界化する。
• 線形化方程式の一次係数に一様バウンディングが確立され、すべての $l \geq 1$ および $\alpha \in (0,1)$ に対して $|v^{\rho,l-1}(l-1,\cdot)|_{\alpha} \leq C$ が成り立つ。
• 補正項 $\delta v^{\rho,k,l}_i$ の時間的・空間的Hölder連続性が一様であるため、スキームはグローバルに収束する。
• 時間ステップサイズ $\rho_l \sim 1/l$ は、グローバル収束を保証するとともに、線形化システムの係数に一様バウンディングを保証する最小のものである。
• 本手法は、ナビエ＝ストークス方程式の古典的グローバル $L^2$-存在結果の別証明を提供する。