[論文レビュー] On the natural gradient for variational quantum eigensolver

Naoki Yamamoto|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用数 44

ひとこと要約

本論文は、量子幾何学的指標に基づく自然勾配最適化が、単純なケーススタディにおいて通常の勾配およびITEと比べてVQEのパラメータ更新を改善する方法を分析し、いつ有効であり、いつ障害となるかを明らかにしている。

ABSTRACT

The variational quantum eigensolver is a hybrid algorithm composed of quantum state driving and classical parameter optimization, for finding the ground state of a given Hamiltonian. The natural gradient method is an optimization method taking into account the geometric structure of the parameter space. Very recently, Stokes et al. developed the general method for employing the natural gradient for the variational quantum eigensolver. This paper gives some simple case-studies of this optimization method, to see in detail how the natural gradient optimizer makes use of the geometric property to change and improve the ordinary gradient method.

研究の動機と目的

• パラメータ空間の幾何構造を考慮して、VQEにおける自然勾配の利用を動機付ける。
• Fubini-Study量子計量がVQEにおける最適化の軌跡にどのように影響するかを説明する。
• 単純なVQEの例において、自然勾配と虚時間演化に基づく更新を通常の勾配と比較する。
• 自然勾配がより速い収束を提供する状況と、特異点のために課題に直面する可能性がある状況を特定する。

提案手法

• 量子フィッシャー情報/Fubini-Study計量 F を用いて自然勾配更新を定義し、 theta_{k+1} = theta_k - eta_k F(theta)^{-1} ∂f/∂theta の形で示す。
• 自然勾配を虚時間演化 (ITE) に関連付け、その関係を行列不等式 A ≥ F および F ≤ A として示し、関係を議論する。
• 単一量子ビットおよび二量子ビットのハードウェア効率的ansatzに対して F を明示的に計算し、det(F)=0 となる特異点を分析する。
• 二つのケーススタディ（H = sigma_x を持つ単一量子ビットと、2量子ビットハミルトニアンを持つH2分子）を用いて、勾配法とITE軌道を比較する。
• 近似特異点を扱うためにFへ小さな対角成分を加える等の実務的考慮事項を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子幾何学ベースの自然勾配が、通常の勾配法と比較してVQEにおける最適化軌道にどのように影響するか？
• RQ2 どのようなVQE設定（状態、ハミルトニアン、ansatz構造）で自然勾配がより速い収束を提供するか、あるいは問題となる特異点に遭遇するか？
• RQ3 VQE文脈における自然勾配と虚時間演化の関係はどのようなもので、いつ等価で、いつ異なるのか？
• RQ4 det(F)=0 のような特異点がVQEにおける自然勾配の有効性においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 古典的なフィッシャー情報ベースのアプローチ（確率分布上のフィッシャー計量）はVQEの最適化に効果的に用いることができるか？

主な発見

• 自然勾配は、研究対象のケースで量子状態空間の幾何を活用して、通常の勾配よりも速くパラメータ更新を導く。
• 単一量子ビットの例では、自然勾配とITEは特異点の周りの計量情報に基づく軌道を辿ることで基底状態へより速く収束する。
• H2の2量子ビットハードウェア効率的ansatzでは、状態が実数で ⟨∂iφ|φ⟩=0 となるため、ITEは自然勾配と同じになり、特異点は分離可能状態に結びつきエンタングルメントエントロピー S(|φ⟩=0 when det(F)=0) に関連する。
• エネルギーランドスケープにはFが悪条件になる特異領域が含まれることがあり、Fに小さな正則化を追加することで大きく不安定なパラメータジャンプを防げる。
• ターゲット状態が特異点の近傍にある場合（例：玩具ケースの分離可能状態）には自然勾配の効果が薄い可能性があり、適用前にターゲット状態の計量解析を慎重に行うことを示唆している。