[論文レビュー] On the Nature of Discrete Space-Time: Part 1: The distance formula, relativistic time dilation and length contraction in discrete space-time

David T. Crouse, Joseph D. Skufca|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2018

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本論文は、長年の問題である異方性や相対性理論との不適合性を解消する新しい離散的距離公式を提案する。ピタゴラスの定理を大規模で収束させるが、プランクスケールでは異なる形に修正することで、ローレンツ変換のもとでの空間的・時間的原子（hodon および chronon）の不変性を保ち、それらの基本単位に対する相対論的長さ収縮や時間の遅れを排除する。

ABSTRACT

In this work, the relativistic phenomena of Lorentz-Fitzgerald contraction and time dilation are derived using a modified distance formula that is appropriate for discrete space. This new distance formula is different than the Pythagorean theorem but converges to it for distances large relative to the Planck length. First, four candidate formulas developed by different people over the last 70 years will be discussed. Three of the formulas are shown to be identical for conditions that best describe discrete space. It is shown that this new distance formula is valid for all size-scales -- from the Planck length upwards -- and solves two major problems historically associated with the discrete space-time (DST) model. One problem it solves is the widely believed anisotropic nature of most discrete space models. Just as commonly believed is the second problem -- the incompatibility of DST's concept of an immutable atom of space and the length contraction of this atom required by special relativity. The new formula for distance in DST solves this problem. It is shown that length contraction of the atom of space does not occur for any relative velocity of two reference frames. It is also shown that time dilation of the atom of time does not occur. Also discussed is the possibility of any object being able to travel at the speed of light for specific temporal durations given by an equation derived in this work. Also discussed is a method to empirical verify the discreteness of space by studying any observed anomalies in the motion of astronomical bodies, such as differences in the bodies' inertial masses and gravitational masses. The importance of the new distance formula for causal set theory and other theories of quantum gravity is also discussed.

研究の動機と目的

• 離散的時空（DST）と特殊相対性理論の間の長年の不適合性、特に基本的時空単位の相対論的長さ収縮や時間の遅れに関する矛盾を解消すること。
• 1949年にヒューマン・ヴァイラーが提起した「タイルの議論」に応える。この議論は、離散的空間とピタゴラスの定理が共存できないと主張しているが、大規模でピタゴラスの形に収束するが、等方性を保つ距離公式を導出することでこれを解決すること。
• プランクスケールから巨視的幾何学まで、あらゆるスケールに適用可能な一様な距離公式を確立し、量子重力理論への一貫した応用を可能とすること。
• 空間の原子（hodon）と時間の原子（chronon）が相対運動に対して不変であることを示し、それらが基本的定数としての地位を保つこと。
• 天体の運動における異常を分析することで、DSTの検証を提案し、慣性質量と重力質量の不一致を含む例を提示すること。

提案手法

• 大距離ではピタゴラスの定理に還元されるが、プランクスケールでは顕著に異なる新しい離散的時空における距離公式を導出する。
• 過去70年間の4つの候補となる離散的距離公式を分析・比較し、離散的空間を模擬する条件下で、そのうち3つが同等であることを示す。
• 新しい距離公式を特殊相対性理論における時間の遅れと長さ収縮の標準的導出に適用し、hodon および chronon がローレンツ変換のもとで変化しないことを実証する。
• 粒子の速度を離散的な空間的・時間的ステップに基づいて定義するDSTにおける速度モデルを導入し、連続的時空の観点から単一の値ではなく、速度の区間が得られることを示す。
• 制限的な論理的実証主義と絶対的でない空間の概念を用いて距離公式を導出し、等方性が本質的に保たれることを保証する。
• 天体の運動におけるずれを観測することで、空間の離散性を検証する手法を提案し、特に慣性質量と重力質量の行動の不一致に注目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模でピタゴラスの定理に収束するが、プランクスケールでは異なる、等方的でかつ有効な離散的距離公式を構築できるか？
• RQ2 提案された距離公式により、特殊相対性理論における基本的時空単位（hodon および chronon）の長さ収縮や時間の遅れの必要性が解消されるか？
• RQ3 天体の運動における異常、特に慣性質量と重力質量の不一致を観測することで、空間の離散性を実証的に検証できるか？
• RQ4 離散的空間とピタゴラスの定理の間の矛盾を提起したヴァイラーのタイル議論は、新しい距離公式によってどのように解消されるか？
• RQ5 このモデルは、因果セット理論、ループ量子重力、および超弦理論を含む量子重力理論にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 新しい距離公式は等方的であり、あらゆるスケールに適用可能で、大多数の離散的時空モデルに長年の異方性問題を解決する。
• hodon（空間的原子）および chronon（時間的原子）は相対論的長さ収縮や時間の遅れを経験せず、あらゆる相対速度において不変性を保つ。
• プランクスケールの距離では、新しい公式はピタゴラスの定理とは顕著に異なる結果をもたらすが、巨視的スケールではそれと収束する。
• 光速での一時的移動が可能であり、離散的時空構造から導かれる特定の時間的持続時間が得られる。
• 天体の運動における異常、特に慣性質量と重力質量の不一致は、空間の離散性を実証的に検証するための手段として機能する。
• このモデルは、重力を含む離散的時空への拡張の基盤を提供し、量子重力、宇宙論、そして時空と空間の哲学に関する研究の新たな道筋を示唆する。