[論文レビュー] On the nature of the conformable derivative and its applications to physics

Douglas R. Anderson, Evan Camrud+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 36被引用数 50

ひとこと要約

The paper shows that Khalil and Katugampola conformable derivatives are equivalent to the simple variable change u = x^α/α for differentiable functions, and explores the resulting mathematical structure and physical interpretations, focusing on quantum mechanics, self-adjointness, Sturm–Liouville problems, and integral transforms.

ABSTRACT

The purpose of this work is to show that the Khalil and Katagampoula conformable derivatives are equivalent to the simple change of variables $x$ $ ightarrow $ $x^{α}/α,$ where $α$ is the order of the derivative operator, when applied to differential functions. Although this means no extquotedblleft new mathematics extquotedblright\ is obtained by working with these derivatives, it is a second purpose of this work to argue that there is still significant value in exploring the mathematics and physical applications of these derivatives. This work considers linear differential equations, self-adjointness, Sturm-Liouville systems, and integral transforms. A third purpose of this work is to contribute to the physical interpretation when these derivatives are applied to physics and engineering. Quantum mechanics serves as the primary backdrop for this development.

研究の動機と目的

• Conformable derivatives を非整数次の微分方程式の標準手法を適用する有用な道具として研究する意義を動機づける。
• Conformable derivative が変数変換と同等であり、これが新しい数学を生み出さないが、有用な物理的解釈と応用を提供することを示す。
• Conformable 微分方程式の微分法則、自己随伴性、分光理論の枠組みを構築する。
• 特に Fourier 変換を含む conformable 積分変換を調査し、量子力学における物理的単位と空間解釈を論じる。

提案手法

• conformable derivative D^α を x^{1-α} d/dx と定義し、連鎖律を介して u = x^α/α への変換と関連づける。
• u- 変数を用いて通常の二階微分方程式を conformable 形へ写し、SOLDEs を conformable SOLDEs へ写像するレシピを得る。
• 自己随伴な conformable 演算子 Â_{2α} = d/dx [x^{1-α} d/dx] を導出し、境界条件 y(0)=y(1)=0 の下での Sturm–Liouville 固有問題を研究する。
• Bessel 方程式と confluent hypergeometric 方程式の conformable 類似形を構築・解析し、明示的な conformable 形と解を示す。
• Conformable Sturm–Liouville 理論を導入し、スペクトル、固有関数、および一般化 J_n^{(α)} 関数のスケーリング特性を論じる。
• 特に Fourier 変換を中心に conformable 変換を展開し、関連する逆変換と conformable Laplace 変換との関係を概説する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Conformable derivative D^α は differentiable function に対して x から u への単純な変数変換の下で通常の微分構造と同等か。
• RQ2 Conformable フレームワークは自己随伴性、Sturm–Liouville 問題、およびスペクトル理論をどのように変えるか。
• RQ3 古典的な特殊関数（例：Bessel、Airy）の conformable に対応するものは何で、α によってその性質（零点、スケーリング）はどう振る舞うか。
• RQ4 Conformable 積分変換（Fourier、Laplace）はどのように定式化・物理的に解釈され得るか、特に量子力学において。

主な発見

• Conformable derivative は differentiable functions に対して単純な変数変換 u = x^α/α に等価である。
• 自己随伴な conformable 演算子 Â_{2α} = d/dx [x^{1-α} d/dx] は明示的な固有関数と固有値を持つ自然な conformable Sturm–Liouville 系を提供する。
• Conformable Bessel 方程式は標準の Bessel 関数を引数を修正した形で表現する conformable Bessel 関数を導き、SOLDEs は x^{2}-型の独立変数変換に対応する。
• 一連の正規直交 conformable 固有関数 J_n^{(α)}(x) は正弦関数を一般化し、0≤x≤1 の上で完全基底を形成する；零点とスケーリングは α に依存する。
• Conformable Fourier-Bessel 展開の類推や Kummer/0F1 関係は新しい基底を古典的な特別関数へ結び付ける。
• Conformable Sturm–Liouville 演算子と境界値問題は、スペクトルと固有関数が α によって変調されることを示す解ける特異解の形をもたらす。
• Conformable Fourier 変換のフレームワークを開発し、対称的な順方向・逆方向の変換と量子力学的解釈への適合を実現する。