[論文レビュー] On the Navier-Stokes equation perturbed by rough transport noise

Martina Hofmanová, James-Michael Leahy+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、非有界な粗いドライバー理論を用いて、2次元および3次元のナビエ＝ストークス方程式に粗い輸送ノイズが加わった場合の弱解の存在、および2次元では一意性と安定性を確立している。粗いパスフレームワーク内でのパスごとの解の定式化により、著者たちは事前推定を導出し、変分法を用いて適切な解の存在を証明した。これは、線形またはスカラーの場合を超える粗いPDEへのエネルギーに基づく解析の拡張である。

ABSTRACT

We consider the Navier-Stokes system in two and three space dimensions perturbed by transport noise and subject to periodic boundary conditions. The noise arises from perturbing the advecting velocity field by space-time dependent noise that is smooth in space and rough in time. We study the system within the framework of rough path theory and, in particular, the recently developed theory of unbounded rough drivers. We introduce an intrinsic notion of a weak solution of the Navier-Stokes system, establish suitable a priori estimates and prove existence. In two dimensions, we prove that the solution is unique and stable with respect to the driving noise.

研究の動機と目的

• 粗いパス理論を用いて、粗い輸送ノイズが加わったナビエ＝ストークス方程式をパスごとの決定的枠組みで解くためのフレームワークを確立すること。
• 古典的確率解析が不十分であるナビエ＝ストークス系のような粗いPDEに対して、変分法とエネルギー推定を拡張すること。
• ノイズが時間的に滑らかである場合に古典的定義に還元される、粗いPDEのための内因的弱解の定義をすること。
• 周期的境界条件および有限p-変動ノイズのもとで、2次元および3次元の両方において解の存在を証明すること。
• ドライビングノイズパスに関して、2次元での一意性と安定性を確立すること。

提案手法

• 時間における有限p-変動（p ∈ [2, 3)）を持つ粗いパスによって駆動される粗いPDEとして、粗い輸送ノイズが加わったナビエ＝ストークス系を定式化する。
• 非有界な粗いドライバー理論を適用して、古典的弱解を一般化するパスごとの解概念を定義する。
• 非有界な粗いドライバー枠組みから導かれるエネルギー推定と粗いグロワールド補題を用いて、解の成長を制御する。
• ソボレフ空間における変分法を用いて、事前境界とコンパクト性の議論を通じて解を構成する。
• セーディング補題と反復積分を用いて、分布的意味での粗いノイズ項の時間積分を定義する。
• 解空間がホーラー空間および弱連続空間にコンパクトに埋め込まれることを確立し、収束する部分列を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粗い輸送ノイズが加わったナビエ＝ストークス系は、決定的でパスごとのアプローチによって解けるか？
• RQ2 非有界な粗いドライバー理論は、粗いPDE設定においてエネルギー推定と弱解の存在を導くのを可能にするか？
• RQ3 2次元の場合、粗い輸送ノイズのもとで解は一意的かつ安定的か？
• RQ4 解とノイズの正則性が低い場合、粗いノイズ項の時間積分をどのように厳密に定義できるか？
• RQ5 線形またはスカラー方程式を超える粗いPDEに対して、変分法を拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、非有界な粗いドライバーに基づくパスごとの解概念を用いて、粗い輸送ノイズが加わった2次元および3次元のナビエ＝ストークス方程式に対する弱解の存在を確立した。
• 2次元では、解がドライビングノイズパスに関して一意的かつ安定的であることが示され、古典的結果が粗いパス設定に拡張された。
• 著者たちは、ノイズが時間的に滑らかである場合に古典的定義に一致する、弱解の新しい内因的定義を導入した。
• 粗いグロワールド補題と粗いパス枠組みに適合したエネルギー法を用いて、事前推定が導かれた。
• 解空間が C_T H^{-1} および L^2_T H^0_w にコンパクトに埋め込まれており、一般化されたアーベル＝アスcoliの議論により収束する部分列の抽出が可能である。
• 時間積分 ∫₀ᵗ (ȧ_s · ∇)u_s ds は、反復積分とセーディング補題を用いて分布的極限として厳密に定義され、p ∈ [2,3) の場合にヤングの定理が成立しないという問題を克服した。