[論文レビュー] On the Neumann problem for Monge-Ampère type equations

Feida Jiang, Neil S. Trudinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 19被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、半線形境界条件を伴うMonge-Ampère型方程式のノイマン境界値問題について、グローバルな2階微分係数の推定と古典的可解性を確立する。Lions, Trudinger, and Urbas (1986) の手法と最近の2階微分係数の境界の拡張により、係数に関する自然な条件（正則性、単調性、ドメインの一様 $ A $-凸性を含む）の下で、$ C^{3,\beta} $ 解の存在と一意性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study the global regularity for regular Monge-Ampère type equations associated with semilinear Neumann boundary conditions. By establishing a priori estimates for second order derivatives, the classical solvability of the Neumann boundary value problem is proved under natural conditions. The techniques build upon the delicate and intricate treatment of the standard Monge-Ampère case by Lions, Trudinger and Urbas in 1986 and the recent barrier constructions and second derivative bounds by Jiang, Trudinger and Yang for the Dirichlet problem. We also consider more general oblique boundary value problems in the strictly regular case.

研究の動機と目的

• Monge-Ampère型方程式の半線形ノイマン境界条件を伴う場合の、事前2階微分係数推定を確立すること。
• 係数およびドメインに関する自然な構造的条件の下で、ノイマン問題の古典的可解性を証明すること。
• 洗練されたバリア構成と微分係数推定を用いて、従来のディリクレ問題からノイマン設定への結果の拡張を図ること。
• 厳密に正則な場合の斜交境界値問題への解析の一般化を図ること。

提案手法

• 勾配および2階微分係数の成長を制御するため、指数関数的重みおよびカットオフ関数を含む補助関数を用いた上解・下解法の適応。
• 局所的な球体において、$ w = \eta^2 e^{\kappa u} |Du|^2 $ という修正された補助関数を用い、ヘッセ行列の2次下界の下で勾配推定を導出する。
• 境界作用素が非退化的で、内部方程式と整合的であることを保証するため、一様斜交性条件 $ G_p \cdot \nu \geq \beta_0 $ を用いる。
• ドメイン $ \Omega $ の $ A $-凸性（$ A $ の曲率および行列微分条件を用いて定義）を用いて、境界挙動を制御する。
• 係数の正則性条件として、$ p $ における余次元1の凸性および $ z $ における単調性を課し、楕円性および一意性を保証する。
• 境界作用素 $ G $ の凹性および一様斜交性に依拠して、グローバル推定を導出し、固定点法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Monge-Ampère型方程式のノイマン問題が $ C^{3,\alpha} $ 解をもつための条件は何か？
• RQ2 ノイマン条件を伴うMonge-Ampère型方程式に対して、2階微分係数推定をどのように確立できるか？
• RQ3 $ A $, $ B $, および $ \varphi $ にどのような構造的仮定を課すと、楕円的解の存在と一意性が保証されるか？
• RQ4 ドメイン $ \Omega $ の一様 $ A $-凸性がノイマン問題の可解性にどのように影響するか？
• RQ5 類似した正則性と可解性を保ちながら、結果を斜交境界条件に拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、$ A $, $ B $, $ \varphi $, および $ \Omega $ に関する自然な仮定の下で、ノイマン問題に対する一意的な $ C^{3,\alpha} $ 解の存在を証明する。
• 指数関数的重みおよびカットオフ関数を含む補助関数と繊密なバリア構成を用いて、グローバルな2階微分係数推定を確立する。
• 局所的に、$ |Du(x_0)| \leq C/R $ という勾配推定が得られ、これは $ \mu_0 $, $ \sigma_0 $, $ \beta_0 $, $ \Omega $, および $ \|u\|_{L^\infty} $ に依存する。
• 上解 $ \bar{u} $ と楕円的下解 $ \underline{u} $ が存在する場合、$ \Omega $ が $ G $ および区間 $ [\underline{u}, \bar{u}] $ に関して一様 $ A $-凸である限り、解は存在し、かつ一意である。
• 最適輸送の状況では、条件A1, A2およびコスト関数とターゲット測度に関する構造的条件の下で、存在結果が成り立つ。
• 境界作用素 $ G $ が $ p $ に関して一様に斜交的かつ凹的である場合、結果は $ A $ が正則である限り、斜交境界問題に拡張可能である。