[論文レビュー] On the no-gap second-order optimality conditions for a non-smooth semilinear elliptic optimal control

Vu Huu Nhu|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2020

Optimization and Variational Analysis参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、制御から状態への写像が Gateaux微分可能でない非滑らかな半線形楕円型最適制御問題に対して、最大関数を含む非線形性を持つ場合の『ギャップなし』の2次最適性理論を確立する。コスト関数の2次一般化導関数を導入し、2次テイラー型展開を用いることで、2つの主要な仮定の下で、厳密な不等号と非厳密な不等号の違いのみに差が生じる必要・十分な2次条件を導出する。その仮定とは、目的関数の Gateaux微分可能性（状態のゼロ集合上で共役状態が消えることによって特徴づけられる）と、最大関数の非微分点近傍における点の構造的仮定である。

ABSTRACT

This work is concerned with second-order necessary and sufficient optimality conditions for optimal control of a non-smooth semilinear elliptic partial differential equation, where the nonlinearity is the non-smooth max-function and thus the associated control-to-state operator is in general not G\^{a}teaux-differentiable. In addition to standing assumptions, two main hypotheses are imposed. The first one is the G\^{a}teaux-differentiability at the considered control of the objective functional and it is precisely characterized by the vanishing of an adjoint state on the active set. The second one is a structural assumption on the 'almost' active sets, i.e., the sets of all points at which the values of the interested state are 'close' to the non-differentiability point of the max-function. We then derive a 'no-gap' theory of second-order optimality conditions in terms of an abstract curvature functional, i.e., for which the only change between necessary or sufficient second-order optimality conditions is between a strict and non strict inequality.

研究の動機と目的

• 最大関数非線形性を有する非滑らかな半線形楕円型最適制御問題に対する2次必要・十分最適性条件の構築を目的とする。
• 状態方程式に非滑らかな最大関数を含む場合、制御から状態への写像が Gateaux微分可能でないという課題に対処することを目的とする。
• 必要条件と十分条件の唯一の差が不等号の厳密性である『ギャップなし』の理論を確立することを目的とする。
• 目的関数の Gateaux微分可能性を、状態のゼロ集合上で共役状態が消えることによって特徴づけること。
• 有限要素近似の誤差推定に役立つ可能性を有する、十分条件の同値な定式化を提供することを目的とする。

提案手法

• コスト関数の2次一般化導関数 Q(\bar{u}, \bar{p}; h) を導入し、最大関数の折り目における非滑らかさを捉える。
• 最適制御の周囲でのコスト関数の2次テイラー型展開を用いて最適性条件を導出する。
• 2つの主要な仮定を課す：(1) 目的関数の Gateaux微分可能性（状態のゼロ集合上で共役状態が消えることによって特徴づけられる）；(2) 最大関数の非微分点近傍における点の集合に関する構造的仮定。
• 共役状態方程式と制御から状態への写像を用いて、最適性条件を状態および共役変数に結びつける。
• 弱収束の議論と部分列の抽出を用いて、十分条件の背理法的証明を導出する。
• 有限要素近似の誤差推定に役立てる可能性を有する、十分条件の同値な定式化（命題 5.3）を提供する：方向の錐 C_\tau(U_{ad}; \bar{u}) を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態方程式に非滑らかな最大関数を含む場合、与えられた制御における目的関数の Gateaux微分可能性はどのような条件下で成立するか？
• RQ2 制御から状態への写像が Gateaux微分可能でない場合、2次必要・十分最適性条件はどのように導出可能か？
• RQ3 最大関数の非微分点近傍における状態の構造的仮定は、『ギャップなし』の2次最適性理論を可能にするために必要となるか？
• RQ4 2次十分最適性条件を、有限要素離散化における誤差解析に役立てる形に再定式化可能か？
• RQ5 共役状態は、目的関数の Gateaux微分可能性を特徴付けるために果たす正確な役割は何か？

主な発見

• 制御 \bar{u} における目的関数の Gateaux微分可能性は、対応する状態 \bar{y} がゼロとなる集合上で共役状態 \bar{p} が消えることと同値である。
• 必要条件と十分条件の唯一の差が不等号の厳密性である『ギャップなし』の2次最適性理論が確立された。
• すべての h \in C(U_{ad}; \bar{u}) \setminus \{0\} に対して Q(\bar{u}, \bar{p}; h) > 0 が成り立つならば、\bar{u} は強い局所的最小解である。
• 命題 5.3 で提示される同値な十分条件：すべての h に対して Q(\bar{u}, \bar{p}; h) \geq c_0 \|h\|_{L^2}^2 が、錐 C_\tau(U_{ad}; \bar{u}) 内で成り立つ。
• 十分条件の証明は、正規化された方向列の弱収束と L^2 範数の弱下半連続性を用いた背理法に依存する。
• 導出された2次一般化導関数 Q(\bar{u}, \bar{p}; h) が部分列選択に対して不変であることが示され、極限における一貫性が保証された。