[論文レビュー] On the nonarchimedean quadratic Lagrange spectra

Jouni Parkkonen, Paulin, Frédéric|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

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ひとこと要約

本稿では、有限体上の形式ローレンツ級数に対して、非アルキメデス的類似物として、古典的な実数のディオファントス近似の結果を確立する。非アーベル的二次ラグランジュスペクトルを導入し、ブルハット＝ティッツ木への幾何的群作用を用いて、スペクトルが閉かつ有界であり、ホールの射（十分大きな $n$ に対して $q^{-n}$ の形をした無限個の近似定数を含む）を含むことを証明する。また、Hurwitz定数を計算し、特定の二次無理数に対して最大近似定数が正確に $q^{-2}$ に達することを示し、一部のスペクトルにはギャップが存在することを示している。

ABSTRACT

We study Diophantine approximation in completions of functions fields over finite fields, and in particular in fields of formal Laurent series over finite fields. We introduce a Lagrange spectrum for the approximation by orbits of quadratic irrationals under the modular group. We give nonarchimedean analogs of various well known results in the real case: the closedness and boundedness of the Lagrange spectrum, the existence of a Hall ray, as well as computations of various Hurwitz constants. We use geometric methods of group actions on Bruhat-Tits trees.

研究の動機と目的

• 有限体上の関数体の完備化における非アーベル的二次ラグランジュスペクトルの定義と研究。
• 実数のディオファントス近似における古典的結果（閉性、有界性、ホールの射の存在など）を正の特性の設定に拡張すること。
• 形式ローレンツ級数の文脈における二次無理数のHurwitz定数の計算。
• スペクトルの構造、特にギャップの有無の調査。

提案手法

• 二次無理数 $\alpha$ に対する $\mathrm{Sp}(\alpha)$ を、$K \cup \Theta_\alpha$ に属さない $x$ 全体における近似定数 $c_\alpha(x)$ の集合として定義する。ここで $\Theta_\alpha$ は、$\mathrm{PGL}_2(R)$ による $\alpha$ の軌道である。
• 近似の質を測るための高さ関数として、$h(\alpha) = |\alpha - \alpha^\sigma|^{-1}$ を用いる。
• ブルハット＝ティッツ木への $\mathrm{PGL}_2(R)$ の作用を用いた幾何的アプローチを適用し、水平球内の測地線の交点を分析する。
• 周期的であることが知られている $\mathcal{K}(2)$ の要素の連分数展開を用いて、二次無理数を特徴付ける。
• 木の距離構造を活用し、水平球内での測地線の交点の最大長さを用いて、近似定数の上限を確立する。
• Geodesic $[f^\sigma, f]$ と $[\alpha^\sigma, \alpha]$ 間の交点の最大長さを $n(f,\alpha)$ とおくとき、$c_\alpha(f) = q^{-n(f,\alpha)}$ を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性における関数体の完備化における二次ラグランジュスペクトルは、実数スペクトルと類似した性質（閉性、有界性）を示すか？
• RQ2 非アーベル的二次ラグランジュスペクトルにはホールの射が存在するか、すなわち十分大きな $n$ に対してすべての $q^{-n}$ が含まれるか？
• RQ3 与えられた二次無理数 $\alpha$ に対して、Hurwitz定数 $\max \mathrm{Sp}(\alpha)$ の値は何か？
• RQ4 スペクトルにギャップが存在しうるか、たとえば $q^{-2k+1}$ のような値が欠落していても、それより小さい定数は任意に小さくなるか？
• RQ5 スペクトルが正確に最大のホールの射と一致する二次無理数が存在するか？

主な発見

• 二次無理数 $\alpha$ に対して、スペクトル $\mathrm{Sp}(\alpha)$ は閉かつ有界であり、任意の $\alpha$ に対して $\max \mathrm{Sp}(\alpha) \leq q^{-2}$ が成り立つ。
• ホールの射が存在する：十分大きな $n$ に対して、すべての $q^{-n} \in \mathrm{Sp}(\alpha)$ が成り立ち、スペクトルが $\{0\} \cup \{q^{-n} : n \geq m_\alpha\}$ の形の初期区間を含むことが示された。
• 特定の二次無理数 $\phi = [Y]$ に対して、$\mathrm{Sp}(\phi) = \{0\} \cup \{q^{-n-2} : n \in \mathbb{N}\}$ であり、したがって $\max \mathrm{Sp}(\phi) = q^{-2}$ である。
• ギャップを含む二次無理数が存在する：例えば、命題 4.12 で示されるように、$k \geq 2$ のとき $q^{-2k+1} \notin \mathrm{Sp}(\alpha)$ である。
• $\deg P = 1$ である $\alpha = [P]$ のスペクトルは $\mathrm{Sp}([P]) = \{0\} \cup \{q^{-(2+n)} : n \in \mathbb{N}\}$ であり、ホールの射構造が確認された。
• $m \geq 2$ 任意の整数に対して、$\max \mathrm{Sp}(\beta) = q^{-m}$ を満たす二次無理数 $\beta$ が存在する。これは、すべてのこのような最大定数が実現可能であることを示している。