[論文レビュー] On the noncommutative spectral flow

Charlotte Wahl|ArXiv.org|Feb 7, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 25被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、ヒルベルト $C^*$-加群上の正則自己共役フレドホルム作用素の経路に対して、公理的およびユニタリ変換手法を用いて一般化された非可換スペクトルフローを導入する。スペクトルフローの一意性は函子的公理によって確立され、非可換マスロフ指数を定義するために応用され、$KK$-理論および高次インデックス理論への応用を含む。

ABSTRACT

We define and study the noncommutative spectral flow for paths of regular selfadjoint Fredholm operators on a countably generated Hilbert C*-module. We give an axiomatic description and discuss some applications. One of them is the definition of a noncommutative Maslov index for paths of Lagrangians which appears in a splitting formula for the spectral flow. Analogously we study the spectral flow for odd operators on a graded module.

研究の動機と目的

• コンパクトな解消作用素に限らない、ヒルベルト $C^*$-加群上の正則自己共役フレドホルム作用素の経路への古典的スペクトルフローの一般化を図ること。
• スペクトルフローを用いてラグランジュ部分空間の経路に対する非可換マスロフ指数を定義すること。これは分割公式と幾何的応用に由来する。
• スペクトルセクションとボット周期性の2つの既存のアプローチを、コンパクト作用素によって異なる投影作用素の相対インデックスを導入することによって統一すること。
• スペクトルフローを $K_0$-理論における函手的不変量として確立し、$KK$-理論および $C^*$-代数的構造と整合させること。
• スペクトルフローが、ユニタリ共役不変性および有界変換を含む自然な公理の集合によって一意に決定されることを証明すること。

提案手法

• ユニタリ変換とボット周期性を用いてスペクトルフローを定義し、逆元を持つ端点と正則フレドホルム性を持つ経路に適用可能である。
• コンパクト作用素によって異なるヒルベルト $C^*$-加群上の投影作用素のペアに対する相対インデックスを導入し、スペクトルセクションの差を一般化する。
• 有界変換 $D \mapsto D(1+D^2)^{-1/2}$ を用いて、非有界作用素の経路と有界作用素の経路を関連させ、スペクトルフローの不変性を保持する。
• $KK$-理論におけるカスパロフ積と標準的同型を用いて非可換スペクトルフローを構成し、特に $KK_0(\mathbb{C}, C_0((0,1), \mathcal{A}))$ で考える。
• 非コンパクト多様体上の楕円的作用素の経路および $C^*$-代数上のファミリーに理論を適用し、高次符号数と横断的インデックスとを関連付ける。
• 両方の定義が適用可能な場合、公理的定義とユニタリに基づく定義が等価であることを証明し、一貫性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな解消作用素に限らない、ヒルベルト $C^*$-加群上の正則自己共役フレドホルム作用素の経路に対するスペクトルフローをどのように一般化できるか？
• RQ2 $C^*$-代数とヒルベルト加群の文脈において、非可換スペクトルフローを一意に特徴付ける公理的性質は何か？
• RQ3 非可換マスロフ指数はスペクトルフローとどのように関係し、分割公式において果たす役割は何か？
• RQ4 一般化されたスペクトルセクションが存在しない場合でも、ボット周期性とユニタリ変換を用いてスペクトルフローを定義できるか？
• RQ5 スペクトルフローと $KK$-理論の関係は何か、特に奇数 $K$-理論と $KK$-理論のペアリングの文脈でどうなるか？

主な発見

• 非可換スペクトルフローは、$C^*$-代数 $\mathcal{A}$ における函手的性、ユニタリ共役不変性、および有界変換との整合性を含む公理の集合によって一意に決定される。
• コンパクト作用素によって異なる投影作用素の相対インデックスは、いくつかの公理によって一意に定義され、$C^*$-加群設定におけるスペクトルセクションの差の一般化である。
• ${\mathbb{Z}}/2$-符号付きヒルベルト $C^*$-加群上の奇数作用素のスペクトルフローは $K_1(\mathcal{A})$ に値をとり、理論を奇数の場合に拡張する。
• 両方の定義が適用可能な場合、スペクトルフローはスペクトルセクションによる家族スペクトルフローと一致し、アプローチ間の一貫性を保証する。
• スペクトルフローはカスパロフ積および $KK$-理論における標準的同型と関係し、$[F_t]$ が $KK_0(\mathbb{C}, C_0((0,1), \mathcal{A}))$ に属するが、同型 $f: \mathbb{C} \to C_1^1 \otimes C_1^2$ による積の像として実現される。
• この構成は、高次インデックス理論への応用、特に高次符号数と葉多様体バンドルの横断的符号数へのフレームワークを提供する。