[論文レビュー] On the nonexistence of stationary weak solutions to the compressible fluid equations

Dongho Chae|ArXiv.org|Dec 29, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、密度、速度、磁場に特定の可積分性条件を課した場合、$\mathbb{R}^N$ 上で圧縮性ナビエ＝ストークス方程式および磁気流体力学（MHD）方程式に対して、非自明な定常弱解が存在しないことを証明する。重み付きエネルギー推定と径数の切り捨て関数、発散なしのテスト関数を用いて、唯一可能な解は密度がゼロであり、MHDの場合には磁場がゼロであることを示している。

ABSTRACT

In this paper we prove that under some integrability conditions for the density and the velocity fields the only stationary weak solutions to the compressible fluid equations on $\Bbb R^N$ correspond to the zero density. In the case of compressible magnetohydrodynamics equations similar integrability conditions for density, velocity and the magnetic fields lead to the zero density and the zero magnetic field.

研究の動機と目的

• 圧縮性ナビエ＝ストークス方程式が $\mathbb{R}^N$ 上で非自明な定常弱解を有しない条件を確立すること。
• 圧縮性磁気流体力学（MHD）方程式に対しても、$N \geq 2$ の場合に同様の非存在結果を拡張すること。
• すべての解が自明（密度ゼロ、磁場ゼロ）であることを強制する、密度、速度、磁場に関する可積分性条件を同定すること。
• 圧力積分の符号条件を要しないリウヴィル型定理を、圧縮性流体系に対して提供すること。
• 重み付きテスト関数と compact な台を持つ切り捨て関数を用いて、粘性および非粘性の場合を統一的に取り扱う分析的枠組みを構築すること。

提案手法

• 圧縮性ナビエ＝ストークスおよびMHD系の両方について、$C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ 内のテスト関数を用いた積分的恒等式により、定常弱解を定義する。
• 径数の切り捨て関数 $\sigma_R(|x|)$ と重み付きテスト関数 $\phi = \nabla(|x|^2 \sigma_R(|x|))$ または $\phi = \nabla(\varphi_R(x))$（ただし $\varphi_R(x) = w(|x|)\sigma_R(|x|)$）を用いる。
• 発散なしの条件 $\mathrm{div}\,f = 0$ と部分積分を用いてエネルギー型恒等式を導出する。
• 粘性係数（$\mu, \lambda$）を含む誤差項を推定し、速度の $L^{N/(N-1)}$ 可積分性のもとで $R \to \infty$ の極限で消えることを示す。
• 圧力の非負性と重み付き積分の構造を用いて、すべての非負の項が消えることを導く。
• 関数 $w \in \mathcal{W}$ に対して $w'$ および $w''$ の単調性を用いて、すべての被積分関数が非負であることを保証し、これにより $\rho$, $H$, $p$ が点ごとに消えることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性ナビエ＝ストークス方程式が $\mathbb{R}^N$ 上で非自明な定常弱解を有しない可積分性条件は何か？
• RQ2 非存在結果を磁場を有する圧縮性MHD方程式に拡張できるか？ その場合に追加で必要な条件は何か？
• RQ3 圧縮性系では、非圧縮性Euler系とは異なり、圧力積分に符号条件が不要なのはなぜか？
• RQ4 粘性係数 $\mu$ および体積粘性係数 $\lambda$ は、速度場の可積分性要件にどのように影響するか？
• RQ5 径数の切り捨て関数と重み付きテスト関数は、エネルギー型積分の消滅を証明するために果たす役割は何か？

主な発見

• 非粘性の場合（$\mu = \lambda = 0$）、$\int_{\mathbb{R}^N} \frac{\rho|v|^2 + p}{1+|x|} dx < \infty$ ならば、$\rho = 0$ 几乎 everywhere である。
• 粘性係数で $2\mu + \lambda = 0$ の場合、$\int_{\mathbb{R}^N} (\rho|v|^2 + p) dx < \infty$ ならば、$\rho = 0$ 几乎 everywhere である。
• 粘性係数で $2\mu + \lambda \neq 0$ の場合、$\int_{\mathbb{R}^N} (\rho|v|^2 + |v|^{N/(N-1)} + p) dx < \infty$ ならば、$\rho = 0$ 几乎 everywhere である。
• $N \geq 3$ の圧縮性MHD方程式では、同様の可積分性条件のもとで、$\rho = 0$ および $H = 0$ 几乎 everywhere である。
• $N = 2$ の場合、$w(r) = r^2$ を選ぶと $\int_{\mathbb{R}^2} (\rho|v|^2 + 2p) dx = 0$ となり、$\rho = 0$ 几乎 everywhere であることが示される。
• 証明は、テスト関数から導かれる重み付き積分の非負性に依拠しており、これによりすべての非負の項が恒等的に消える。