[論文レビュー] On the nonhamiltonian character of shocks in 2-D pressureless gas

Yu. G. Rykov|ArXiv.org|May 15, 2001

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、大規模宇宙構造形成をモデル化する2次元圧力なしガス力学系における衝撃波の非ハミルトニアン性を調査する。一般化解をラドン測度を用いて定義し、衝撃波の進化を記述する非自明な1次元非厳密な双曲型系を導出することで、1次元では成り立つ変分原理が2次元では成立しないことを証明し、次元間における衝撃波ダイナミクスの根本的な構造的差異を示している。

ABSTRACT

The paper deals with the 2-D system of gas dynamics without pressure which was introduced in 1970 by Ya.Zeldovich to describe the formation of large-scale structure of the Universe. Such system occurs to be an intermediate object between the systems of ordinary differential equations and hyperbolic systems of PDE. The main its feature is the arising of singularities: discontinuities for velocity and delta functions of various types for density. The rigorous notion of generalized solutions in terms of Radon measures is introduced and the generalization of Rankine-Hugoniot conditions is obtained. On the basis of such conditions it is shown that the variational representation for the generalized solutions, which is valid for 1-D case, in 2-D case generally speaking does not take place. A nontrivial 1-D system of nonstrictly hyperbolic type is also obtained to describe the evolution inside the shock.

研究の動機と目的

• ラドン測度を用いた一般化解を厳密に定義し、密度におけるデルタ関数の特異性を含む特異性を捉えること。
• 1次元で有効な一般化解の変分原理が、2次元の場合に拡張可能かどうかを調査すること。
• 衝撃波面に沿った流れの変数の進化を記述する非自明な1次元非厳密双曲型系を導出すること。
• 速度の不連続性と特異的密度プロファイルを考慮した2次元における衝撃波の一般化されたランキン＝ユゴニオ条件を導出すること。
• 1次元と2次元の衝撃波ダイナミクスの根本的構造的差異を明確にすること、特に高次元における変分表現の崩壊について

提案手法

• 速度の不連続性と密度におけるデルタ関数特異性を取り扱うために、ラドン測度の意味での一般化解を導入する。
• 特徴線に沿った変数変換を用い、初期状態から衝撃状態への写像 $\mathcal{L}_t$ を用いて一般化されたランキン＝ユゴニオ条件を導出する。
• 衝撃波面のパarametrization $ (x^s(t,l), y^s(t,l)) $ を構築し、左および右の初期特徴線位置 $ (a_+, b_+) $、$ (a_-, b_-) $ を定義する。
• $ (a,b) $-平面上における面積要素の時間微分を用いてフラックスを表現し、ヤコビアンに類似した項 $ (a_\tau b_l - b_\tau a_l) $ を含む。
• 移動領域上の積分に対する時間微分公式を適用し、一般化されたジャンプ条件 (15)–(16) を導出する。
• 2次元非粘性バーガース系（(3)と同値）を分析し、1次元とは異なり2次元ではその一般化解が変分原理によって表現できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元のスカラー保存則において有効な一般化解の変分表現が、2次元の圧力なしガス力学系に拡張可能か。
• RQ2 特異的密度プロファイルを有する2次元圧力なしガス力学系における衝撃波の一般化されたランキン＝ユゴニオ条件は何か。
• RQ3 2次元における衝撃波面の進化は1次元とどのように異なるか。特に可積分性およびハミルトニアン構造の観点から。
• RQ4 2次元における衝撃面に沿った力学を記述する1次元非厳密双曲型系の性質は何か。
• RQ5 密度における $\delta$-関数特異性および速度の不連続性が、2次元における変分形式化を妨げる理由は何か。

主な発見

• スカラー保存則の1次元で有効な一般化解の変分表現は、圧力なしガス系の2次元では一般には成立しない。
• ラドン測度の意味での一般化解が存在し、衝撃波面に沿った進化を記述する非自明な1次元非厳密双曲型系によって特徴づけられる。
• 初期特徴線位置の積分を用いた一般化されたランキン＝ユゴニオ条件が導出され、ヤコビアンに類似した項と両側からのフラックスを含む。
• 衝撃波速度 $ (\widetilde{u}, \widetilde{v}) $ は、フラックス積分 $ \widetilde{I}_t / \widetilde{P}_t $、$ \widetilde{J}_t / \widetilde{P}_t $ の比として表現され、$ \widetilde{P}_t $、$ \widetilde{I}_t $、$ \widetilde{J}_t $ は初期データと特徴線ヤコビアンの時間積分により定義される。
• 系は強い特異性を示す：速度の不連続性と $\delta$-関数密度であり、標準的なハミルトニアン形式化を不可能にする。
• 2次元における変分原理の失敗は、系の非厳密双曲型性と不完全な固有ベクトル構造に起因し、これは1次元の場合と根本的に異なる。