[論文レビュー] On the Nonrelativistic Quantum-Mechanical Hamiltonian with $1/c^2$ terms. Transverse current-current interaction

L. Bányai|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Quantum and electron transport phenomena被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、標準的なクーロン力のみを含むハミルトニアンを拡張し、クーロンゲージにおけるランダウ＝リフシッツ形式を用いて、$1/c^2$ 次の横方向電流-電流相互作用を含む非相対論的量子力学的ハミルトニアンを導出する。このハミルトニアンの量子化版が、光子を含まない部分空間における非相対論的QEDの $1/c^2$ 近似と等価であることを示し、特に外部磁場と内部磁場の物理的区別を可能にすることが重要である。これは超伝導体におけるミッシャー効果を理解する上で不可欠である。

ABSTRACT

We extend the standard solid-state quantum mechanical Hamiltonian containing only Coulomb interactions between the charged particles by inclusion of $1/c^2$ terms representing (transverse) current-current interaction. For its derivation we use the classical formulation of Landau-Lifshitz, however consequently in the Coulomb gauge. Our Hamiltonian does not coincide with the Darwin Hamiltonian and we emphasize the mathematical inconsistency in its derivation. We show, that the quantized version of our Hamiltonian is equivalent to the non-relativistic QED considering only states without photons and retaining only terms of order $1/c^2$. The importance of this extended Hamiltonian lies in the possibility to distinguish external from internal magnetic fields. This aspect may be relevant for theories of the Meissner effect.

研究の動機と目的

• 相対論的でない量子系に、電流-電流相互作用を含む一貫性のある $1/c^2$ 補正ハミルトニアンを導出すること。これは、ダーウィンハミルトニアンの数学的不整合を回避することを目的とする。
• クーロンゲージを用いることでゲージ選択の曖昧さを解消し、電磁場の物理的自由度（2つの横方向成分）のみを保存すること。
• 導出された古典的および量子化ハミルトニアンが、光子を含まない部分空間における非相対論的QEDの $1/c^2$ 近似と直接的に等価であることを確立すること。
• 超伝導体の理論において不可欠な外部磁場と内部磁場の物理的区別を可能にすること。

提案手法

• ランダウ＝リフシッツによる古典的 $1/c^2$ ハミルトニアンの導出を採用するが、彼らが用いたゲージではなくクーロンゲージを用いることで、物理的自由度のみを保持する。
• 外部ベクトルポテンシャルを縦方向成分を避けるために、$\nabla \vec{A}^{\text{ext}} = 0$ のクーロンゲージ条件を用いて、電流密度の横方向成分で表現する。
• 古典的ハミルトニアンを $1/c^2$ 次まで導出し、クーロン密度-密度相互作用に類似した横方向電流-電流相互作用項を得る。
• 導出された古典的ハミルトニアンを量子化し、その2次S行列要素が、光子プロパゲーターを $1/q^2$ 形式に切り詰めた非相対論的QEDの $1/c^2$ 次のものと一致することを示す。
• ファインマン図を用いて、電流-電流相互作用が、仮想光子を介した2次摂動的電子-電子散乱に起因することを確認する。ハミルトニアンの $-1/2$ 要素は、摂動展開における重複数えを是正するための正規化を保証する。
• 導出されたハミルトニアンが、外部磁場と内部磁場を区別できる物理的分離を可能にし、超伝導体のような系における磁場応答を正確に記述できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ、$1/c^2$ 補正に一般的に用いられるダーウィンハミルトニアンは、その導出において物理的に不整合を示すのか。より厳密な代替手法をどのように構築できるか。
• RQ2 電磁場の2つの横方向自由度のみを保存するクーロンゲージにおいて、荷電粒子間の $1/c^2$ 電磁相互作用を一貫してどのように導出できるか。
• RQ3 導出されたハミルトニアンの量子化版が、光子を含まない状態の部分空間において、非相対論的QEDの $1/c^2$ 限界をどの程度正確に再現するか。
• RQ4 拡張されたハミルトニアンは、外部磁場と内部磁場を区別できるか。この区別が、ミッシャー効果の理論においてなぜ重要なのか。
• RQ5 横方向電流-電流相互作用は、超伝導体における理想反磁性の微視的記述をどのように可能にするか。

主な発見

• 導出された古典的ハミルトニアンには、$1/c^2$ 次の横方向電流-電流相互作用項が含まれており、クーロンゲージにおいて数学的に整合性があり、ゲージ不変性を満たす。
• 光子を含まない状態の部分空間に制限した場合、量子化されたハミルトニアンは非相対論的QEDの $1/c^2$ 近似と等価である。
• 電流-電流相互作用は、仮想光子を介した2次摂動的電子-電子散乱に起因し、運動量空間における光子プロパゲーターは $1/q^2$ に近似される。
• ハミルトニアンの電流-電流相互作用項に付く $-1/2$ 要素は、QEDのS行列と整合するように、摂動展開における重複数えを是正する。
• このハミルトニアンは、外部磁場と内部磁場の明確な物理的分離を可能にし、標準的なクーロン力のみのモデルにはない特徴を有する。
• この拡張された枠組みにより、自己無撞撃場近似に依存せずに、内部磁場が外部磁場を動的にキャンセルする仕組みを含めた、ミッシャー効果のより根本的な理解が可能になる。