[論文レビュー] On the nonuniqueness of free motion of the fundamental relativistic rotator

Łukasz Bratek|ArXiv.org|Feb 24, 2009

Geotechnical and Geomechanical Engineering被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、質量とスピンが内部パラメータによって固定された、基本的相対論的回転子の自由運動を調査する。ハミルトニアン作用の共変形式を用いて、運動方程式が運動量中心系における光線方向回転を支配する任意関数を含み、古典的決定論を破り、コーシー問題の解が一意でないことを示している。この不確定性は、ラグランジアンの速度に関する2階微分のヘッセ行列の退化に起因し、特定の関数 $ f(Q) = \tilde{f}(Q) = \frac{1}{\tilde{f}(Q)} $ のみで恒等的にゼロになる。この関数は基本的回転子を一意に特徴づけるが、孤立系としての動的病理を引き起こす。

ABSTRACT

Consider a class of relativistic rotators described by position and a single null direction. Such a rotator is called fundamental if both its Casimir invariants are intrinsic dimensional parameters independent of arbitrary constants of motion. As shown by Staruszkiewicz, only one rotator with this property exists (its partner with similar property can be excluded on physical grounds). We obtain a general solution to equations of free motion of the fundamental relativistic rotator in a covariant manner. Surprisingly, this motion is not entirely determined by initial conditions but depends on one arbitrary function of time, which specifies rotation of the null direction in the centre of momentum frame. This arbitrariness is in manifest contradiction with classical determinism. In this sense the isolated fundamental relativistic rotator is pathological as a dynamical system. To understand why this is so, we study the necessary condition for the uniqueness of the related Cauchy problem. It turns out that the fundamental relativistic rotator (together with its partner) can be uniquely characterized by violating this condition in the considered class of rotators.

研究の動機と目的

• 質量とスピンが内部パラメータによって固定された、基本的相対論的回転子の自由運動におけるコーシー問題の一意性を調査すること。
• 相対論的作用から導かれる運動方程式が初期条件によって完全に決定されるか、あるいは追加の自由度を有するかを特定すること。
• ラグランジアンの速度に関する2階微分のヘッセ行列を分析することで、この系における不確定性の数学的起源を解明すること。
• 特定の関数 $ f(Q) = \tilde{f}(Q) $ がヘッセ行列の行列式を恒等的にゼロにする条件を満たす唯一の関数である理由を明らかにし、これは古典的基本的力学系の整合性に何を意味するかを明らかにすること。
• この一意性の欠如が、固定されたカシミール不変量を持つ孤立古典的系の存在に与える影響を検討すること。

提案手法

• 位置 $ x^\nu $ および光線方向 $ k^\nu $ に対する正準運動量を用いて、ハミルトニアン作用 $ S = -m \int \tilde{f}(Q) \frac{d\tau}{d\tau} $ から運動方程式を形式的に導出する。ここで $ Q = -\tilde{f}(Q) \frac{\tilde{f}(Q)}{(k \tilde{x})^2} $ である。
• パウリ＝ルバンスキー スピンベクトル $ W^\nu $ およびカシミール不変量 $ P^\nu P_\nu = m^2 $、$ W^\nu W_\nu = -\frac{1}{4} m^4 \tilde{f}(Q)^2 $ を計算し、これらが内部パラメータ $ m $ および $ \tilde{f}(Q) $ によって固定されることを確認する。
• 速度 $ \tilde{x}^\nu $、$ \tilde{k}^\nu $ に関するラグランジアンの2階微分のヘッセ行列 $ H $ を分析し、その行列式が $ f(Q) = \tilde{f}(Q) $ のみで恒等的にゼロになることを示す。これは基本的回転子に対応する。
• コーシー問題の一意性のための必要条件として $ \text{det}(H) = 0 $ を導出し、基本的回転子がこの条件を破っていることから、解の一意性が失われることを明らかにする。
• シルベスターの行列式定理および行列分解技術を用いてヘッセ行列の行列式を評価し、$ f(Q) = \tilde{f}(Q) $ のみが恒等的にゼロの行列式をもたらすことを示す。
• 光線方向の進化における任意性が不確定性の原因であることを特定し、運動量中心系における時間の任意関数としてパrameter化される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ基本的相対論的回転子の自由運動は初期条件によって一意に決定されないのか？
• RQ2 この系におけるコーシー問題の不確定性の数学的起源は何か？
• RQ3 ラグランジアンのヘッセ行列の行列式がゼロになることと、系の力学的不確定性とはどのように関係するか？
• RQ4 なぜ特定の関数 $ f(Q) = \tilde{f}(Q) $ のみが、カシミール不変量が内部パラメータによって固定されるとともに、ヘッセ行列式が恒等的にゼロになる唯一の関数なのか？
• RQ5 固定されたカシミール不変量を持つ孤立古典的系は一貫して存在可能なのか、それとも決定論を回復するために外部場との相互作用が必要なのか？

主な発見

• 基本的相対論的回転子の自由運動は、運動量中心系における光線方向回転を支配する時間の任意関数に依存するため、初期条件によって一意に決定されない。
• 不確定性は、速度に関するラグランジアンの2階微分のヘッセ行列の行列式がゼロになることに起因し、これは $ f(Q) = \tilde{f}(Q) $ のみで成立する。この関数が基本的回転子を一意に特徴づける。
• ヘッセ行列の行列式がゼロであることは、コーシー問題が一意に解けないことを意味し、古典的決定論に反し、孤立した基本的相対論的回転子は動的病理を示す。
• $ \text{det}(H) = 0 $ はコーシー問題の一意性のための必要条件であり、基本的回転子はこの条件を破っている。これにより、解に時間の任意関数が現れる理由が説明される。
• 不確定性は自由度の数の問題ではなく、$ f(Q) $ の形式そのものに内在する。わずかな $ f(Q) $ の変形によって非退化性が回復されるが、その代わりに固定カシミール不変量の基本的性質が破れる。
• この結果は、質量とスピンが内部パラメータとして固定された孤立古典的基本系が数学的に整合性を持たない可能性を示唆し、決定論と整合性を回復するためには外部場との相互作用が必要となる可能性がある。