[論文レビュー] On the norm convergence of nonconventional ergodic averages

Tim Austin|ArXiv.org|May 3, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、確率空間上の可換な $\mathbb{Z}^r$-作用に対して非正規化エルゴード平均のノルム収束を、完全に無限的（infinitary）な手法で示す新しい証明を提供する。平均 $\frac{1}{|I_N|}\sum_{n\in I_N+a_N}\prod_{i=1}^d f_i\circ T_i^n$ が $L^2(\mu)$ で収束し、その極限はF{\o}lner列 $(I_N)$ および基点列 $(a_N)$ の選び方に依存しないことを確立した。Taoの有限的（finitary）アプローチを古典的エルゴード理論の技法で拡張した。

ABSTRACT

We offer a generalization of the recent result of Tao (building on earlier results of Conze and Lesigne, Furstenberg and Weiss, Zhang, Host and Kra, Frantzikinakis and Kra and Ziegler) that the nonconventional ergodic averages associated to an arbitrary number of commuting probability-preserving transformations always converge to some limit in L^2. We prove the corresponding result for a collection of commuting actions of a larger discrete Abelian group, and gives convergence that is uniform in the start-point of the averages. While Tao's proof rests on a conversion to a finitary problem, we invoke only techniques from classical ergodic theory, so giving a new proof of his result.

研究の動機と目的

• 可換な $\mathbb{Z}^r$-作用に対する非正規化エルゴード平均のノルム収束を、新しい無限的証明で示すこと。
• 有限的還元や非標準解析に依存せずに、$L^2(\mu)$ での収束を確立すること。
• 極限がF{\o}lner列 $(I_N)$ および基点列 $(a_N)$ の選び方に依存しないことを示すこと。
• Taoの $r=1$ の結果を一般の $r$ および任意のF{\o}lner列に、古典的手法を用いて拡張すること。
• 特徴的因子やニルシステム分解を避けるために、快適な拡張（pleasant extensions）と自己結合（self-joinings）を用いること。

提案手法

• Furstenbergの自己結合構成を用いて、$d$ 個の可換作用を持つ積空間にシステムを上げる。
• 逆極限による快適な拡張の塔を構築し、平均に対する一様な制御を確保する。
• 誤差項を制御するために、van der Corput推定とコーシー・シュワルツ不等式を再帰的に適用する。
• 極限の構造を分析するために、高さ $d$ の自己結合の塔を構築する。
• Furstenbergの代わりにHost-Kraの自己結合を用いることで、快適なシステムを1段階で構成可能となる。
• 有限的または非標準解析の技法に依存せず、古典的エルゴード理論の道具に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換な $\mathbb{Z}^r$-作用に対する非正規化エルゴード平均のノルム収束は、古典的無限的エルゴード理論のみを用いて証明可能か？
• RQ2 平均の極限はF{\o}lner列や基点列の選び方に依存するか？
• RQ3 有限的問題への還元や非標準解析を用いずに収束を確立できるか？
• RQ4 逆極限を経由せずに、有限ステップで快適な拡張を構成できるか？
• RQ5 これらの手法は可換群やノルム群作用へ一般化可能か？

主な発見

• 任意の $f_1,\ldots,f_d \in L^\infty(\mu)$ に対して、非正規化エルゴード平均 $\frac{1}{|I_N|}\sum_{n\in I_N+a_N}\prod_{i=1}^d f_i\circ T_i^n$ は $L^2(\mu)$ で収束する。
• 極限はF{\o}lner列 $(I_N)$ および基点列 $(a_N)$ の選び方に依存しない。
• 証明は有限的還元や非標準解析を避けており、古典的エルゴード理論に完全に依存している。
• Host-Kraの自己結合を用いた1段階の構成により、快適な拡張の新規構成が達成された。逆極限を経由しない。
• Taoの元々の有限的アプローチとは異なり、基点のシフトにかかわらず一様に適用可能である。
• 結果は一般の $r \geq 1$ および任意の可換な $\mathbb{Z}^r$-作用に対して成り立ち、以前の結果を高ランクへ拡張した。