[論文レビュー] On the notion of flat 2-functors

María Emilia Descotte, Eduardo J. Dubuc+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、2-圏論におけるlax極限とpseudo極限の間を補間する統一的枠組みを提供する$σ$-極限および$σ$-双極限を導入する。任意の重み付き$σ$-極限がコンビナトリアル極限として表現可能であることを確立し、平坦な双関手を表現可能2関手の$σ$-filtered $σ$-双関手として特徴づけることにより、古典的な双コインデックス公式の2-圏的類似を提供し、2-トポス理論を前進させる。

ABSTRACT

In this paper we introduce sigma limits (which we write $\sigma$-limits), a concept that interpolates between lax and pseudolimits: for a fixed family $\Sigma$ of arrows of a 2-category $\mathcal{A}$, a $\sigma$-cone for a $2$-functor $\mathcal{A} \stackrel{F}{ ightarrow} \mathcal{B}$ is a lax cone such that the structural 2-cells corresponding to the arrows of $\Sigma$ are invertible. The conical $\sigma$-limit of $F$ is the universal $\sigma$-cone. Similary we define $\sigma$-natural transformations and weighted $\sigma$-limits. We consider also the case of bilimits. We develop the theory of $\sigma$-limits and $\sigma$-bilimits, whose importance relies on the following key fact: any weighted $\sigma$-limit (or $\sigma$-bilimit) can be expressed as a conical one. From this we obtain, in particular, a canonical expression of an arbitrary $\mathcal{C}at$-valued 2-functor as a conical $\sigma$-bicolimit of representable 2-functors, for a suitable choice of $\Sigma$, which is equivalent to the well known bicoend formula. As an application, we establish the 2-dimensional theory of flat pseudofunctors. We define a $\mathcal{C}at$-valued pseudofunctor to be flat when its left bi-Kan extension along the Yoneda 2-functor preserves finite weighted bilimits. We introduce a notion of 2-filteredness of a 2-category with respect to a class $\Sigma$, which we call $\sigma$-filtered. Our main result is: A pseudofunctor $\mathcal{A} ightarrow \mathcal{C}at$ is flat if and only if it is a $\sigma$-filtered $\sigma$-bicolimit of representable 2-functors. In particular the reader will notice the relevance of this result for the development of a theory of 2-topoi.

研究の動機と目的

• lax極限とpseudo極限の間を補間する2圏における極限の統一的枠組みを構築すること。
• 構造的2セルが可逆となるような固定された矢印の族$Σ$を用いて$σ$-極限および$σ$-双極限を定義すること。
• 重み付き$σ$-極限および$σ$-双極限がコンビナトリアル極限に還元されることを示し、それらの研究を単純化すること。
• 表現可能2関手の$σ$-filtered $σ$-双関手として平坦な双関手を特徴づけること。
• 新しい2-フィルター性（$σ$-フィルター性）を用いて2-トポス理論のための2-圏的基礎を提供すること。

提案手法

• 族$Σ$に属する矢印の構造的2セルが可逆となるlaxコーンとして$σ$-コーンを導入する。
• この文脈における普遍対象としてコンビナトリアル$σ$-極限および$σ$-自然変換を定義する。
• 重み付き$σ$-極限および$σ$-双極限の理論を発展させ、それがコンビナトリアル$σ$-極限に還元されることを示す。
• $Σ$をパrameterとする2-圏的一般化として$σ$-フィルター性を導入する。
• 重み付き極限がコンビナトリアル$σ$-極限に還元されることを応用し、任意の$Γ$-値2関手を表現可能2関手のコンビナトリアル$σ$-双関手として表現する。
• この結果を用いて、Yonedaに沿った左双Kan拡張における有限重み付き双極限の保存性によって平坦な双関手を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 lax極限とpseudo極限を、パrameter化された矢印のクラスを用いて2-圏論で統一するにはどうすればよいか？
• RQ2 重み付き$σ$-極限はコンビナトリアル$σ$-極限に還元可能か？その可逆性にどのような意味があるか？
• RQ3 平坦な双関手を特徴づけるために適切な2-圏的類似のフィルター性とは何か？
• RQ4 $Γ$-値2関手の$σ$-双関手分解は、古典的な双コインデックス公式とどのように関係するか？
• RQ5 $σ$-フィルター性は2-トポス理論における平坦性を特徴づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の重み付き$σ$-極限または$σ$-双極限は、コンビナトリアル$σ$-極限と同型であり、これによりその解析および構成が単純化される。
• 任意の$Γ$-値2関手は、適切な$Σ$に対して、表現可能2関手のコンビナトリアル$σ$-双関手としての標準的表現を持つ。これは双コインデックス公式を回復する。
• 2関手$\mathcal{A} \to \mathcal{C}at$が平坦であるための必要十分条件は、それが表現可能2関手の$σ$-filtered $σ$-双関手であることに他ならない。
• $σ$-フィルター性は、2圏における平坦性に必要な本質的性質を捉える形で、フィルター性を一般化する。
• この理論は、2-トポス理論における古典的結果を統合・拡張する、新しい内在的特徴づけを提供する。