[論文レビュー] On the Notions of Rudimentarity, Primitive Recursivity and Representability of Functions and Relations

Saeed Salehi|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 9被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、原始再帰的関係がすべてrudimentary（すなわち、有界論理式によって定義可能）であるという、文献における一般的な誤解を是正する、新しい素朴な証明を提供する。さらに、十分に強い算術的理論における関数の弱い表現可能性と強い表現可能性の同値性を確立し、計算可能性および形式的算術における表現可能性の基礎的問題を明確にする新しい証明を提示する。

ABSTRACT

It is quite well-known from Kurt Godel's (1931) ground-breaking result on the Incompleteness Theorem that rudimentary relations (i.e., those definable by bounded formulae) are primitive recursive, and that primitive recursive functions are representable in sufficiently strong arithmetical theories. It is also known, though perhaps not as well-known as the former one, that some primitive recursive relations are not rudimentary. We present a simple and elementary proof of this fact in the first part of the paper. In the second part, we review some possible notions of representability of functions studied in the literature, and give a new proof of the equivalence of the weak representability with the (strong) representability of functions in sufficiently strong arithmetical theories. Our results shed some new light on the notions of rudimentary, primitive recursive, and representable functions and relations, and clarify, hopefully, some misunderstandings and confusing errors in the literature.

研究の動機と目的

• すべての原始再帰的関係がrudimentary（すなわち、∆0-定義可能）であるという誤った一般的な誤解を、単純な反例を用いて是正すること。
• 形式的算術におけるrudimentary、原始再帰的、および表現可能な関数・関係の間の関係を明確にすること。
• 十分に強い算術的理論における関数の弱い表現可能性と強い表現可能性の同値性を、新しい証明により提示すること。
• 形式的体系における関数の表現可能性および証明可能な全性に関する、長年の曖昧さや誤りを解消すること。

提案手法

• 有界（∆0）論理式による定義が不可能である特定の原始再帰的関係を、∆0階層の崩壊しないことを利用した対角線論法によって構成する。
• 証明コードに関する有界量化を用いて関数 f を捉える新しい論理式 ψ(x, y) を導入し、理論内での一意性と正しさを保証する。
• 証明の存在を模倣する有界証明可能性予喩 ̺(z, x) = ∃u ≤ z ProofT(u, x) を用い、理論 T 内部で証明の存在を扱う。
• 理論 T に対する公理的条件 (a)–(e) を用い、有界量化および不等式に関して証明コードが正しく振る舞うことを保証する。
• 関数値の一意性 ∃!u θ(x, u) を適用し、標準的な出力関係 η(x, y) を定義することで、全関数性を保証する。
• すべての必要な条件 (a)–(e) を満たすロビンソン算術 Q を用い、証明の一般適用性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての原始再帰的関係は、有界（∆0）論理式によって定義可能か？
• RQ2 理論における関数の強い表現可能性は、その証明可能な全性を意味するか？
• RQ3 十分に強い理論における関数の弱い表現可能性は、常に強い表現可能性を意味するか？
• RQ4 理論にどのような条件を課すと、弱い表現可能性が強い表現可能性を意味するようになるか？
• RQ5 形式的算術におけるrudimentary、原始再帰的、および表現可能な関数の関係はいかなるものか？

主な発見

• 原始再帰的関係のうち、rudimentary（すなわち、∆0-定義可能でない）なものがある。これは、すべてのpr関係が∆0であるという一般的な信念を反証する。
• 原始再帰的関係のクラスは、rudimentary（∆0）関係のクラスを真に含む。これは、有界論理式の階層に対する対角線論法によって示される。
• 理論における関数の強い表現可能性は、その証明可能な全性を意味する。これは、ヘーバー＝ダイソンに帰属していた結果を、新たに直接的な証明により確認する。
• 理論が5つの公理的条件 (a)–(e) を満たす限り、関数の弱い表現可能性は、その強い表現可能性を意味する。この条件には、有界量化の振る舞いおよび証明コードの閉包性が含まれる。
• 弱い表現可能性と強い表現可能性の同値性の証明は構成的であり、再帰論的結果に依存しない。従来の方法よりもより直接的な道筋を提供する。
• ロビンソン算術 Q はすべての5つの条件 (a)–(e) を満たしており、表現可能性の結果に適した基本理論である。これにより、フレームワークの頑健性が確認される。