[論文レビュー] On the number of classes of triangles determined by $N$ points in $\R^2$

Misha Rudnev|arXiv (Cornell University)|May 22, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、平面上の $N$ 個の点が正の割合を占める直線を含まないという条件下で、それらから作られる三角形の相等類および相似類の数の下界を確立する。特に、合同な三角形については $\mathbb{R}^3$ における点と直線の交線幾何（incidence geometry）を、相似な三角形については $\mathbb{C}^2$ におけるそれらを用いて、$P$ が $\Omega(N^2)$ 個の合同類と $\Omega(N^2 / \log N)$ 個の相似類を生成することを証明する。

ABSTRACT

Let $P$ be a set of $N$ points in the Euclidean plane, where a positive proportion of points lies off a single straight line. This note points out two facts concerning the number of equivalence classes of triangles that $P$ determines, namely that (i) $P$ determines $Ω(N^2)$ different equivalence classes of congruent triangles, and (ii) $P$ determines $Ω(\frac{N^2}{\log N})$ different equivalence classes of similar triangles. The first fact follows from the recent theorem by Guth-Katz on point-line incidences in $\R^3$. The second one, perhaps not so well known, is due to Solymosi and Tardos.

研究の動機と目的

• 平面上の $N$ 個の点が正の割合を占める直線を含まないという条件下で、それらから作られる三角形の異なる合同類および相似類の最小数を特定すること。
• 等長変換（合同）および相似変換（ホモトピー）の下での同値類の数に対する鋭い下界を確立すること。
• 高次元空間における交線定理が、平面上の組合せ幾何的構成にどのようにして組合せ的下界を導けるかを示すこと。
• 合同三角形と相似三角形の解析を群作用の観点から比較・対比すること—合同には剛体運動、相似には複素線形変換を用いる。
• Guth-Katz および Solymosi-Tardos の交線定理が、これらの組合せ幾何的問題を解く上で果たす役割を強調すること。

提案手法

• 合同な三角形の問題を、各点対を $\mathbb{R}^3$ 内の直線にマッピングすることで、剛体運動で片方の点をもう片方に写すものとして、$\mathbb{R}^3$ 内の交線問題に高次元化する。
• Guth-Katz の $\mathbb{R}^3$ 内の交線定理を用いて、それらの直線の三重交点の数を抑え、これは合同な三角形のペアに対応する。
• コーシー＝シュワルツの不等式を適用し、合同な三角形ペアの総数から、異なる合同類の数の下界を導出する。
• 相似な三角形については、向きを保つ相似変換の群を複素線形変換 $\psi(z) = az + b$ としてモデル化し、各点対を $\mathbb{C}^2$ 内の直線にマッピングする。
• Solymosi-Tardos を通じて得られる複素 Szemerédi-Trotter 定理を適用し、$\mathbb{C}^2$ 内の三重交点の数を抑え、これは相似な三角形ペアに対応する。
• 交点重複度についての dyadic 合計とコーシー＝シュワルツの不等式を用いて、相似類の数の下界 $\Omega(N^2 / \log N)$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の $N$ 個の点が正の割合を占める直線を含まないという条件下で、それらから作られる三角形の異なる合同類の最小数は何か？
• RQ2 このような点集合から作られる三角形の異なる相似類の最小数は何か？
• RQ3 高次元空間における交線定理を用いて、平面上の幾何的配置に対する組合せ的下界を導けるか？
• RQ4 等長変換と複素線形変換の群作用は、三角形同値類の数え上げにどのように異なる影響を与えるか？
• RQ5 相似類の下界における $\log N$ 要素は、幾何的制約の本質的要因であるのか、それとも現在の手法の副産物であるのか？

主な発見

• 正の割合を占める直線を含まない平面上の $N$ 個の点から作られる三角形の異なる合同類の数は $\Omega(N^2)$ であり、正方形格子の例によってこの下界が鋭いことが示されている。
• 同様に、このような点集合から作られる三角形の異なる相似類の数は $\Omega(N^2 / \log N)$ であり、Solymosi-Tardos の交線結果とコーシー＝シュワルツの不等式を用いて導出された。
• 合同な三角形の証明は、剛体運動をパラメータ化する直線の三重交点数を抑え込む $\mathbb{R}^3$ 内の Guth-Katz 交線定理に依存している。
• 相似な三角形の証明は、問題の複素化—点対を $\mathbb{C}^2$ 内の直線にマッピングし、複素 Szemerédi-Trotter 定理を適用して三重交点数を抑え込む—ことを通じて行われる。
• 相似類の下界における $\log N$ 要素は、現在の手法の副産物である可能性が強く、タイトな下界ではないと予想されているが、反例はまだ知られていない。
• 解析により、合同（等長群）と相似（ムービウス群または複素線形群）の問題の間の双対性が明らかになり、それぞれに異なる交線理論的技法が必要であることが示された。