[論文レビュー] On the Number of Distinct Legendre, Jacobi and Hessian Curves

Reza Rezaeian Farashahi|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限体 𝔽_q 上の、レジェンドル、ヤコビ、ヘシアン、一般化ヘシアン曲線の族における、𝔽_q-同型写像を除く異なる楕円曲線の数について、明示的な公式を提示する。j-不変量分類と群作用解析を用い、q を 12 または 3 で割った剰余に応じた閉形式の式を導出し、暗号応用分野におけるこれらの古典的曲線族の同型写像類の数に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We give explicit formulas for the number of distinct elliptic curves over a finite field, up to isomorphism, in the families of Legendre, Jacobi, Hessian and generalized Hessian curves.

研究の動機と目的

• 有限体 𝔽_q 上の、レジェンドル、ヤコビ、ヘシアン、一般化ヘシアン曲線の族における、𝔽_q-同型写像を除く異なる楕円曲線の数を特定する未解決問題を解消すること。
• エドワーズ型曲線の j-不変量の数に関する先行研究を、これらの古典的曲線族へと拡張すること。
• 曲線の族のサイズ q と 3 もしくは 12 で割った剰余に依存する、正確で閉形式の式を提供すること。
• 群作用と j-不変量分類を用いた同型写像類の数え上げフレームワークを確立し、他の曲線族にも適用可能であるようにすること。

提案手法

• j-不変量で曲線を分類し、群作用の技法を用いて、各 j-不変量ごとの異なる 𝔽_q-同型写像類の数を分析する。
• 曲線族の 𝔽_q-同型写像類の数が、その族内の異なる j-不変量の数に、自己同型群のサイズを補正した値に等しいという事実を利用する。
• 乗法的群 𝔽_q^* と立方剰余の構造から導かれる既知の結果を活用し、一般化ヘシアン族における j-不変量の数を特定する。
• q mod 3 および q mod 12 に基づく場合分けを用い、楕円曲線の自己同型群の構造を活用して、区分的な公式を導出する。
• q ≡ 1 mod 3 のとき、一般化ヘシアン曲線の同型写像類の数は J_GH(q) + 2 に等しくなることを利用し、J_GH(q) は異なる j-不変量の数を表す。
• 任意の楕円曲線 E について、E とその二次的捩れの位数の和が 2q + 2 に等しいという恒等式を用い、捩れの挙動と同型写像類の数を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 𝔽_q 上のレジェンドル曲線に対して、𝔽_q-同型写像を除く異なる同型写像類はいくつ存在するか？
• RQ2 ヘシアン曲線の 𝔽_q-同型写像類の正確な数は何か？また、q mod 3 にどのように依存するか？
• RQ3 一般化ヘシアン曲線の 𝔽_q-同型写像類の数は何か？また、q mod 12 にどのように変化するか？
• RQ4 各曲線族における同型写像類の数は、その族内の異なる j-不変量の数とどのように関係するか？
• RQ5 エドワーズ曲線で知られているのと同様に、これらの古典的曲線族における同型写像類の数について、明示的で閉形式の公式を導出できるか？

主な発見

• レジェンドル曲線について、q ≡ 3 mod 4 のとき 𝔽_q-同型写像類の数は (q + 1)/2 であり、q ≡ 1 mod 4 のときは (q + 3)/2 である。
• ヘシアン曲線について、q ≡ 1 mod 3 のとき 𝔽_q-同型写像類の数は ⌊(q + 11)/12⌋ であり、q ≡ 0 または 2 mod 3 のときは q − 1 である。
• 一般化ヘシアン曲線について、q ≡ 1 mod 3 のとき 𝔽_q-同型写像類の数は ⌊(3(q + 3))/4⌋ であり、q ≡ 0 または 2 mod 3 のときは q − 1 である。
• 一般化ヘシアン族における異なる j-不変量の数は、q ≡ 1 mod 12 のとき (3q + 1)/4、q ≡ 4 mod 12 のときは 3q/4、q ≡ 7 mod 12 のときは (3q − 1)/4 である。
• 一般化ヘシアン曲線の 𝔽_q-同型写像類の数は、j-不変量の数に 2 を加えたものに等しくなる。これは、自己同型群が大きい j-不変量 0 および 1728 が存在するためである。
• 公式は、q を 12 で割った剰余に関する場合分けと、特に立方剰余の数と、自己同型群が曲線パラメータに作用する構造を用いて導出された。