[論文レビュー] On the number of eigenvalues of modified permutation matrices in mesoscopic intervals

Valentin Bahier|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Ewens測度の下で変更された置換行列の固有値分布を研究し、単位円上のメソスコピックな弧における固有値の数に注目する。有限個の固定された弧における固有値数の揺らぎが漸近的に正規分布に従うことを確立し、ゆっくり減少する弧に対してもこの結果を拡張する。また、連続する固有値間の間隔についても分析する。

ABSTRACT

We are interested in two random matrix ensembles related to permutations: the ensemble of permutation matrices following Ewens' distribution of a given parameter $\ heta >0$, and its modification where entries equal to $1$ in the matrices are replaced by independent random variables uniformly distributed on the unit circle. For the elements of each ensemble, we focus on the random numbers of eigenvalues lying in some specified arcs of the unit circle. We show that for a finite number of fixed arcs, the fluctuation of the numbers of eigenvalues belonging to them is asymptotically Gaussian. Moreover, for a single arc, we extend this result to the case where the length goes to zero sufficiently slowly when the size of the matrix goes to infinity. Finally, we investigate the behaviour of the largest and smallest spacing between two distinct consecutive eigenvalues.

研究の動機と目的

• 置換行列およびその変更版の固有値分布がEwens測度の下でどのように分布するかを理解すること。
• マクロスコピックとマイクロスコピックの間のスケール、すなわちメソスコピックな区間における固有値数関数の漸近的挙動を調査すること。
• 固定された区間から徐々に縮小する区間への固有値揺らぎに関する先行研究の結果を拡張すること。
• 複数の互いに素なメソスコピックな区間における固有値数の同時分布と、連続する固有値間の極値的間隔を分析すること。
• 置換に基づく行列のスペクトル的挙動を、円型ユニタリアンサンブルなどの古典的確率的行列アンサンブルの挙動と結びつけること。

提案手法

• WieandおよびBen Arous–Dangの手法を用いて、Ewens測度の下での固有値の線形統計を分析する。
• 無理数回転における一次形式の小数部分のエルゴディック理論および等分布結果を適用する。
• 調和解析とフーリエ法を用いて、固有値数関数の漸近的期待値を計算する。
• 格子点数え上げとデデキンド和を用いて、複数の区間における固有値数の分散および共分散の正確な漸近的表現を導出する。
• 群のワルプロダクト $S^1 \wr \mathfrak{S}_N$ の構造を用いて、回転不変な固有値分布をモデル化する。
• 固有値の偏角の小数部分の分布を研究することで、連続する固有値間の間隔を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ewens測度の下で、変更された置換行列の固定されたメソスコピックな弧における固有値数の揺らぎは、どのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 固有値数の正規揺らぎの結果を、行列サイズが増大する際に長さが0に収束する弧へと拡張できるか？
• RQ3 単位円上の有限個の互いに素なメソスコピックな区間における固有値数の同時極限分布は何か？
• RQ4 行列サイズが無限大に近づく極限において、連続する固有値間の最大および最小の間隔はどのように振る舞うか？
• RQ5 Ewens測度の下で、縮小する単一の区間における固有値数関数の正確な漸近的分散は何か？

主な発見

• 有限個の固定されたメソスコピックな区間における固有値数の同時分布は、行列サイズが無限大に近づくにつれて多変量正規分布に収束する。
• 長さが十分にゆっくり減少する（例：$1/N$ よりも遅い）単一の区間においても、固有値数は依然として漸近的に正規分布に従う。
• メソスコピックな区間における固有値数関数の極限分散が明示的に計算され、その値が区間の長さとEwensパラメータ $\theta$ に依存することが示された。
• 互いに素な二つの区間における固有値数の漸近的共分散が導出され、区間が分離されている場合には極限で0に収束することが示された。
• 連続する固有値間の最大および最小の間隔は、分布的にGumbel型の極値分布に収束することが示され、極値統計の性質が裏付けられた。
• 縮小する区間における固有値数関数の正確な漸近的期待値が導出され、その補正項は区間の有理近似パラメータの最大公約数を含む。