[論文レビュー] On the number of isogeny classes of ordinary pairing-friendly curves and heuristics of the Cocks-Pinch method

Min Sha|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2012

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 21被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、バーテン・ホーン予想を用いて、Cocks-Pinch法による通常のペアリングフレンドリーな楕円曲線の構成のヒューリスティックな分析を提供する。数値的証拠により支持されるように、Cocks-Pinch法を含む効率的なペアリングフレンドリーな曲線の構成は、ペアリングフレンドリーな体上で、体系的かつ自然にこのような曲線を生成できることを示唆している。

ABSTRACT

We heuristically analyze the Cocks-Pinch method by using the Bateman-Horn conjecture. Especially, we present the first known heuristic which suggests that any efficient construction of pairing-friendly elliptic curves can efficiently generate such curves over pairing-friendly fields, naturally including the Cocks-Pinch method. Finally, some numerical evidence is given.

研究の動機と目的

• 通常のペアリングフレンドリーな楕円曲線の同種類の分布を理解すること。
• Cocks-Pinch法を用いて、特定の有限体上でペアリングフレンドリーな曲線を構成する可能性を調査すること。
• バーテン・ホーン予想に基づくヒューリスティックフレームワークを提供し、そのような曲線の数を推定すること。
• 効率的なペアリングフレンドリーな曲線の構成が、自然にペアリングフレンドリーな体へ拡張可能かどうかを評価すること。

提案手法

• Cocks-Pinch構成においてペアリングフレンドリーな曲線を生成する素数の密度をモデル化するためにバーテン・ホーン予想を適用すること。
• 通常の楕円曲線におけるフロベニウスのトレースの構造を代数的数論を用いて分析すること。
• 曲線の位数が素数であり、埋め込み次数が小さい条件を定式化することで、ペアリングフレンドリー性を保証すること。
• 多項式の因数分解と素数分布に基づいて、通常のペアリングフレンドリーな楕円曲線の同種類の数に対するヒューリスティック推定値を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたサイズの有限体上に、通常のペアリングフレンドリーな楕円曲線の同種類はいくつ存在するか？
• RQ2 Cocks-Pinch法は、ペアリングフレンドリーな体上でペアリングフレンドリーな曲線を体系的に生成するために使用可能か？
• RQ3 Cocks-Pinch構成において、ペアリングフレンドリーな曲線を生成する素数の期待される密度はどの程度か？
• RQ4 バーテン・ホーン予想は、このような曲線の数を予測する信頼できるヒューリスティックを提供するか？

主な発見

• バーテン・ホーン予想は、通常のペアリングフレンドリーな楕円曲線の同種類の数を推定するための実用的なヒューリスティックフレームワークを提供する。
• 分析の結果、Cocks-Pinch法を含む効率的なペアリングフレンドリーな曲線の構成は、自然にペアリングフレンドリーな体上で曲線を生成できることを示唆している。
• 数値的証拠により、ヒューリスティックな予測が、ペアリングフレンドリーな曲線の期待される分布と整合していることが支持されている。
• この方法は、Cocks-Pinch構成における定義多項式の次数の逆数に比例して、そのような曲線の数が増加することを示している。