[論文レビュー] On the number of ordinary circles

Hossein Nassajian Mojarrad, Frank de Zeeuw|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、円の反転とGreen-Taoの普通の直線に関する定理を用いて、平面上の $n$ 個の点（すべてが一直線上または同一円周上にないもの）に対して、普通の円（ちょうど3つの点を通る円）が少なくとも $\frac{1}{4}n^2 - O(n)$ 個存在することを示した。この下界は偶数 $n$ に対して最適であり、構成により奇数 $n$ に対しては $\frac{3}{8}n^2 - O(n)$ が既知の最良上界であることが示され、奇数 $n$ の場合の正確な係数は未解決の問題のまま残っている。

ABSTRACT

We prove that any $n$ points in $\mathbb{R}^2$, not all on a line or circle, determine at least $\frac{1}{4}n^2-O(n)$ ordinary circles (circles containing exactly three of the $n$ points). The main term of this bound is best possible for even $n$. Our proof relies on a recent result of Green and Tao on ordinary lines.

研究の動機と目的

• 平面上の $n$ 個の点がすべて一直線上にない、かつすべて同一円周上にない場合に、それらが決定する普通の円（ちょうど3つの点を通る円）の最小数を特定すること。
• Sylvester-Gallaiの定理の論理を円へと拡張し、直線に関するDirac-Motzkin予想に類似した枠組みを構築すること。
• Elliott（$\frac{2}{63}n^2$）、BálintováとBálint（$\frac{11}{247}n^2$）、Zhang（$\frac{1}{18}n^2$）の先行研究の下界を改善すること。
• 偶数 $n$ に対して $\frac{1}{4}n^2$ の主要項が最適であることを、明示的な構成により確立すること。
• 奇数 $n$ の場合における係数の理解のギャップを特定すること。現時点での最良上界は $\frac{3}{8}n^2$ である。

提案手法

• 普通の直線に関するGreen-Tao定理を基礎的な道具として用い、普通の円に関する境界を導出する。
• 点集合を変換し、構成を分析するために円の反転を適用し、普通の円や直線を保存または変換する。
• 反転後の点集合の像の種類に基づくケース解析を実施：定理3.4で分類されたタイプ(d)、(e)、(f)のいずれに属するか。
• 同じ曲線上にない点に反転を適用し、逆像における普通の直線の数を用いて普通の円の数に関する境界を導出する。
• 同一中心の円周上に点を配置する構成（構成1.2）と、その摂動（構成1.3）を用いて、偶数 $n$ と奇数 $n$ に対して境界のタイトネスを示す。
• 射影的同値性と代数的曲線（最大次数8まで）の次数に関する上限を用い、特定の構成を除外し、多数の普通の円の存在を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面上の $n$ 個の点がすべて一直線上にない、かつすべて同一円周上にない場合に、それらが決定する普通の円の数に対する最良の下界は何か？
• RQ2 偶数 $n$ に対して $n^2$ 項の係数 $\frac{1}{4}$ は最適であり、奇数 $n$ に対しては改善可能か？
• RQ3 普通の直線に関するGreen-Tao定理を、円の反転を介して普通の円に関するタイトな境界を導出するように適応可能か？
• RQ4 極値の普通の円数を達成する構成は何か？また、それらは反転によってどのように振る舞うか？
• RQ5 境界における線形項が、Green-Tao定理の閾値 $N_{GT}$ に依存する理由は何か？より良い境界を得るために改善可能か？

主な発見

• 本稿は、平面上の任意の $n$ 個の点がすべて一直線上にない、かつすべて同一円周上にない場合、少なくとも $\frac{1}{4}n^2 - O(n)$ 個の普通の円を決定することを証明した。
• 偶数 $n$ に対しては、$\frac{1}{4}n^2$ 項が最適であることが、$n/2$ 個の点を持つ2つの同心正多角形を用いた構成により示された。
• 奇数 $n$ に対しては、偶数の場合の構成から1点を除いたことで、$\frac{3}{8}n^2$ が最良の既知の上界として達成された。
• 境界 $\frac{1}{4}n^2 - O(n)$ は偶数 $n$ に対してタイトであり、漸近的にそれ以下の普通の円数を持つ構成は存在しないことが示された。
• 証明は円の反転と、逆像における点集合の構造に基づくケース解析に依拠しており、Green-Tao定理による極値構成の分類を用いている。
• 本稿は[3]の問題7.2.6を解決し、Elliottが提唱した $\frac{1}{6}n^2 - O(n)$ の境界を反証した。