[論文レビュー] On the Number of Restricted Prime Factors of an Integer II

Alexander P. Mangerel|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、素数の分割 $ \{E_j\} $ における各 $ E_j $ からちょうど $ k_j $ 個の異なる素因数をもつ $ x $ 以下の整数の数について、$ k_j \sim E_j(x) $ である条件の下で漸近公式を確立する。強い乗法的関数に対する一般化された Wirsing 型定理を用いて、$ k_j = (1+o(1))E_j(x) $ のとき、このような整数の分布が漸近的にポアソン的であることが確認され、この範囲における確率的ヒューリスティックの妥当性が裏付けられる。

ABSTRACT

Given a partition $\{E_0,\ldots,E_n\}$ of the set of primes and a vector $\mathbf{k} \in \mathbb{N}_0^{n+1}$, we compute an asymptotic formula for the quantity $|\{m \leq x: ω_{E_j}(m) = k_j \ \forall \ 0 \leq j \leq n\}|$ uniformly in a wide range of the parameters $k_j$ that complements the results of a previous paper of the author. This is accomplished using an extension and generalization of a theorem of Wirsing due to the author that gives explicit estimates for the ratio $\frac{|M_g(x)|}{M_{f}(x)}$, whenever $f: \mathbb{N} ightarrow (0,\infty)$ and $g: \mathbb{N} ightarrow \mathbb{C}$ are strongly multiplicative functions that are uniformly bounded on primes and satisfy $|g(n)| \leq f(n)$ for every $n \in \mathbb{N}$. This also allows us to conclude the validity of a probabilistic heuristic regarding $π(x;\mathbf{E},\mathbf{k})$ in the case that $k_j = (1+o(1))E_j(x)$, for each $0 \leq j \leq n$.

研究の動機と目的

• 素数の分割 $ \{E_j\} $ における各 $ E_j $ からちょうど $ k_j $ 個の異なる素因数をもつ $ \leq x $ の整数の個数に関する漸近公式を導出すること。
• 先行研究で提示された確率的ヒューリスティックの妥当性を検証すること。このヒューリスティックは、$ k_j \sim E_j(x) $ のとき、このような整数の分布はポアソン的であると示唆している。
• Halász の単一集合に関する結果を、素数の分割構造を用いて複数集合へと拡張すること。
• 解析的整数論の技法を用いて、すべての $ j $ に対して一様に成り立つポアソン近似の成立条件を確立すること。

提案手法

• 強い乗法的関数 $ f, g $ について $ |g(n)| \leq f(n) $ を満たすとき、$ |M_g(x)| / M_f(x) $ の比を推定する Wirsing の定理を一般化する。
• 関数 $ f(n) = \prod_{j=0}^n (1 + \mathbf{1}_{p \in E_j}(n)) $ を用いて、分割された素数集合 $ \{E_j\} $ の乗法的構造に関連する算術的関数にこの推定を適用する。
• $ \Delta_E(x;g,T) $ を用いて $ g(p) $ の振動を制御し、『よい対』を定義して病理的な相関を除外する。
• $ \rho $-法を用い、$ \rho_j = k_j / E_j(x) $ とおく。ガンマ関数およびバーンズ $ G $-関数を用いて漸近展開を導出する。
• 素数の冪に関する和のデイアディック分解を施し、$ p^\nu \leq y $ および $ y < p^\nu \leq x^{1/2} $ に分け、誤差項を制御する。
• $ \Sigma_1 $ および $ \Sigma_2 $ の推定を用いて一様な誤差項の境界を確立し、$ \Sigma_1 + \Sigma_2 = (1 + O(\log E_j(x)/E_j(x)))E_j(x) $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ k_j \sim E_j(x) $ のとき、各 $ E_j $ からちょうど $ k_j $ 個の異なる素因数をもつ整数の分布は、ポアソン的ヒューリスティックによって正確に記述できるか？
• RQ2 $ k_j $ および分割 $ \{E_j\} $ にどのような条件下で、$ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) $ の漸近公式が一様に成り立つか？
• RQ3 本論文で用いられた、一般化された Wirsing 型推定に基づく手法は、先行研究 [4] に依存せず、独立して新たな漸近結果を導出可能か？
• RQ4 漸近公式における誤差項は、パrameter $ k_j $, $ E_j(x) $、および各 $ E_j $ における素数の分布にどのように依存するか？
• RQ5 単一集合の場合と同様に、$ \rho = k_j / E_j(x) $ が漸近公式における正しいバイアスであるか？

主な発見

• $ E_j(x)^{-1+\epsilon} \ll \delta_j \leq \rho_j \leq B $ かつ $ \delta \cdot \delta_j E_j(x) \to \infty $（$ \delta = \min_j \delta_j $）のとき、$ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) $ の漸近公式は一様に成立する。
• すべての $ j $ について $ k_j = (1+o(1))E_j(x) $ であるとき、分布は漸近的にポアソン的である：$ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) \sim x \prod_{j=0}^n \frac{E_j(x)^{k_j}}{k_j!} e^{-E_j(x)} $、確率的ヒューリスティックの妥当性が裏付けられる。
• 漸近公式における誤差項は $ O\left(x^{-1/2} \Gamma(\rho) F(\rho)^{-1}\right) $ で有界であり、$ \Gamma(\rho) $ および $ F(\rho) $ はガンマ関数およびバーンズ $ G $-関数を含む。
• 比 $ \pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}+\mathbf{e}_j)/\pi(x;\boldsymbol{E},\boldsymbol{k}) $ は漸近的に $ \frac{E_j(x)}{k_j+1} $ に等しく、誤差は $ O\left(\frac{1}{E_j(x)} + \frac{\log E_j(x)}{E_j(x)}\right) $ である。これはポアソンモデルを支持する。
• 本手法は先行研究 [4] に依存せず、成長および振動が制御された乗法的関数に対する一般化された Wirsing 型推定に依拠している。
• $ \boldsymbol{E} $ が『よい分割』である、すなわち $ \Delta_{E_j}(x;g,T)/E_j(x) \gg_n 1 $ であるという条件下で、結果は成り立つ。これは $ g(p) $ と素数集合 $ E_j $ 間の病理的相関を除外する条件である。