[論文レビュー] On the number of singular points of plane curves

Orevkov, S., Mikhail Zaidenberg|ArXiv.org|Jul 7, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、対数ボゴモロフ＝ミヤオカ＝ヤウ（BMY）不等式および局所ザリスキ＝フジタ分解を用いて、剛性を持つ有理的カスプ付き平面曲線のカスプ数に対する鋭い上界を確立する。曲線が9個を超えるカスプをもつことは不可能であり、特異点不変量と対数表面幾何学の新規な応用により、長年の予想が解決される。

ABSTRACT

This is an extended, renovated and updated report on a joint work which the second named author presented at the Conference on Algebraic Geometry held at Saitama University, 15-17 of March, 1995. The main result is an inequality for the numerical type of singularities of a plane curve, which involves the degree of the curve, the multiplicities and the Milnor numbers of its singular points. It is a corollary of the logarithmic Bogomolov-Miyaoka-Yau's type inequality due to Miyaoka. It was first proven by F. Sakai at 1990 and rediscovered by the authors independently in the particular case of an irreducible cuspidal curve at 1992. Our proof is based on the localization, the local Zariski--Fujita decomposition and uses a graph discriminant calculus. The key point is a local analog of the BMY-inequality for a plane curve germ. As a corollary, a boundedness criterium for a family of plane curves has been obtained. Another application of our methods is the following fact: a rigid rational cuspidal plane curve cannot have more than 9 cusps.

研究の動機と目的

• 剛性を持つ有理的カスプ付き平面曲線のカスプ数に対する鋭い上界を確立すること。
• 平面曲線の局所的芽に対して、対数BMY不等式の局所的類似を構築すること。
• 特異点不変量に基づく、平面曲線の族の有界性基準を提供すること。
• 剛性を持つ有理的カスプ付き曲線が9個を超えるカスプをもつことはないという予想を解決すること。
• サカイ、オレフコフ＝ザイデンバーグ、ヒルツェブルフ＝イヴィンスキーのカスプ漸近挙動に関する結果を統合・拡張すること。

提案手法

• P²の平面曲線に関する吹き上げの対数接ベクトル層に、宮崎の対数BMY不等式を適用する。
• 各カスプにおける例外的除算に関する canonical divisor の局所的ザリスキ＝フジタ分解を用いる。
• グラフ判別式計算を用いて、各カスプにおけるザリスキ分解の負の部分を計算する。
• Milnor数 μ_i、重複度 m_i、曲線の次数 d を含む重要な不等式を導出する。
• 対数Kodaira次元が非負であるという条件を適用し、特異点不変量の和を制約する。
• 剛性条件（h¹ = 0）と伊達の定理を用いて、対数接ベクトル層のオイラー標跡を通じて最終的な上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 剛性を持つ有理的カスプ付き平面曲線がもつことのできるカスプ数の最大値は何か？
• RQ2 カスプ数の漸近的上界が次数の2乗に比例して増大する可能性はあり、そのときの最良の定数は何か？
• RQ3 カスプ特異点における canonical divisor の局所的ザリスキ＝フジタ分解はどのように振る舞うか？
• RQ4 対数BMY不等式が曲線特異点に対して有効な境界を与えるにはどのような条件下が必要か？
• RQ5 剛性を持つ有理的カスプ付き曲線のカスプ数に有限の上限があるか。もし存在するなら、その値は何か？

主な発見

• 剛性を持つ有理的カスプ付き平面曲線は9個を超えるカスプをもつことはできず、この上限は鋭い。
• 証明は、(K + D̃)² < 3 - (1/2)κ であることを示し、これとBMY不等式および剛性条件を組み合わせて κ < 10 を導出する。
• 各カスプにおけるザリスキ＝フジタ分解の局所的負の部分は -N_E² > 1/2 を満たし、これは重要な技術的推論である。
• 3個以上のカスプをもつ曲線では、グローバルなザリスキ分解が局所的分解を尊重し、表面全体に一貫性が保証される。
• この上限はタイトである：導出された不等式の等号成立には (K + D̃)² = -2 が必要であり、既知の例と整合する。
• この結果により、9個のカスプを持つ既知の例（非特異な三次曲線の双対）が、剛性を持つ有理的カスプ付き曲線の中で最大であることが確認される。