[論文レビュー] On the number of Singular Vector Tuples of Hyper-Cubical Tensors

Shalosh B. Ekhad, Doron Zeilberger|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般のハイパーキュービカルテンソルの単純特異ベクタータプルの数に対する有理生成関数を導出し、対角列 $ C_d(n) = c(n,\dots,n) $ がホロノミックであることを証明し、漸近公式 $ C_d(n) \sim \alpha_d \cdot ((d-1)^d)^n \cdot n^{-(d-1)/2} $ を提示する。本研究は生成関数論、MacMahon 巨大定理、および記号計算を組み合わせ、$ d=3,4,5,6 $ について再帰的関係と漸近挙動を確立する。$ \$100 の賞金が証明のため、$ \$25 が定数 $ \alpha_d $ の閉形式表記のためのものとして提示されている。結果はオンラインで利用可能な Maple パッケージに実装されている。

ABSTRACT

Shmuel Friedland and Giorgio Ottaviani's beautiful constant term expression for the number of singular vector tuples of generic tensors is used to derive a rational generating function for these numbers, that in turn, is used to obtain an asymptotic formula for the number of such tuples for n by n by n three-dimensional tensors, and to conjecture an asymptotic formula for the general d-dimensional case. A donation of 100 dollars, in honor of the first prover, will be made to the On-line Encyclopedia of Integer Sequences.

研究の動機と目的

• 一般の $ d $ 次元ハイパーキュービカルテンソルにおける単純特異ベクタータプルの数を特定すること。
• このようなタプルの数を表す $ c(m_1,\dots,m_d) $ の有理生成関数を導出すること。
• 対角列 $ C_d(n) = c(n,\dots,n) $ が各 $ d $ に対してホロノミック（P-再帰的）であることを証明すること。
• 漸近公式 $ C_d(n) $ を提示し、その証明と定数 $ \alpha_d $ の明示的表現のための賞金を提示する。

提案手法

• 特異ベクタータプルの数を定式化し、非対角成分にすべて 1 の $ d \times d $ 行列を用いて生成関数論と MacMahon 巨大定理を適用することで、$ c(m_1,\dots,m_d) $ の有理生成関数を導出する。
• 生成関数は $ \prod_{i=1}^d x_i (\prod_{i=1}^d (1 - x_i))^{-1} (1 - \sum_{i=2}^d (i-1)e_i(x_1,\dots,x_d))^{-1} $ として表現され、ここで $ e_i $ は基本対称関数を表す。
• 生成関数の有理性を根拠に、アルゴリズム的証明理論を用いて $ C_d(n) $ のホロノミーを確立する。
• $ d=3 $ の場合、多項式係数をもつ5階線形再帰関係が導出され、記号計算により数値的に検証された。
• WZ 法を用いて漸近展開が計算され、$ C_3(n) \sim \frac{2}{\sqrt{3}\pi} 8^n n^{-1} (1 - \frac{13}{3}n^{-1} + \cdots) $ が得られた。
• 数値的証拠は、$ d \geq 4 $ に対して $ C_d(n) \sim \alpha_d \cdot ((d-1)^d)^n \cdot n^{-(d-1)/2} $ の予想を強く支持しているが、$ \alpha_d $ の閉形式は未解決のままである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $ d $ 次元ハイパーキュービカルテンソル（サイズ $ n \times \cdots \times n $）における単純特異ベクタータプルの正確な数は何か？
• RQ2 生成関数 $ c(m_1,\dots,m_d) $ は閉形式で表現可能か？また、有理関数か？
• RQ3 対角列 $ C_d(n) = c(n,\dots,n) $ は多項式係数をもつ線形再帰関係を満たすか？
• RQ4 $ C_d(n) $ の漸近的成長率は何か？また、$ d $ の関数として表現可能か？
• RQ5 漸近公式における定数 $ \alpha_d $ は $ d $ と $ \pi $ の関数として明示的に表現可能か？

主な発見

• 生成関数 $ c(m_1,\dots,m_d) $ は有理的であることが示され、特異ベクタータプルの数を定数項問題に変換し、MacMahon 巨大定理を適用することで証明された。
• $ d=3 $ の場合、列 $ C_3(n) $ は多項式係数をもつ5階線形再帰関係に従い、記号計算により検証された。
• 漸近展開 $ C_3(n) $ は $ \sim \frac{2}{\sqrt{3}\pi} 8^n n^{-1} (1 - \frac{13}{3}n^{-1} + \frac{1477}{27}n^{-2} - \cdots) $ であり、ベース 8 は 9 よりも支配的でない。
• 数値的証拠は、$ d \geq 4 $ に対して $ C_d(n) \sim \alpha_d \cdot ((d-1)^d)^n \cdot n^{-(d-1)/2} $ の予想を強く支持しているが、定数 $ \alpha_d $ は未解決のままである。
• $ C_4(n) $ の最初の160項が計算されたが、データ不足のため再帰関係は特定できず、高次の複雑性を示唆している。
• $100 の賞金が Doron Zeilberger によって漸近予想の証明のため、さらに $25 が $ \alpha_d $ の明示的公式のためのものとして提示されている。