[論文レビュー] On the Number of Solutions to Asymptotic Plateau Problem

Barış Coşkunuzer|arXiv (Cornell University)|May 26, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、一般に、双曲空間における漸近的プレートウ問題は、無限遠における与えられた境界に対して、一意に絶対的面積最小超曲面をもつことを確立している。地図的断片化の議論を用い、測地的横断線と解領域の厚さ解析を組み合わせることで、一意解を与える境界の集合が、高次元では稠密であり、次元3では一般的であることを証明している。これは、凸または星型境界に限られていた従来の一意性結果を顕著に拡張している。

ABSTRACT

We give a simple topological argument to show that the number of solutions of the asymptotic Plateau problem in hyperbolic space is generically unique. In particular, we show that the space of codimension-1 closed submanifolds of sphere at infinity, which bounds a unique absolutely area minimizing hypersurface in hyperbolic n-space, is dense in the space of all codimension-1 closed submanifolds at infinity. In dimension 3, we also prove that the set of uniqueness curves in asymptotic sphere for area minimizing planes is generic in the set of Jordan curves at infinity. We also give some nonuniqueness results for dimension 3, too.

研究の動機と目的

• 双曲空間における無限遠の球面上の境界が、一意に絶対的面積最小超曲面を境界とするような境界の一般性と稠密性を特定すること。
• 従来、凸または星型境界に限られていた一意性結果を、これらの特殊ケースを超えて拡張すること。
• 次元3において非一意解が生じうるかどうかを調査し、非一意解の明示的例を構成すること。
• この手法が、グロモフ・ハダマール空間や一定平均曲率設定を含むより広範な幾何的設定へ応用可能かどうかを検討すること。

提案手法

• $S^2_\infty(\mathbf{H}^3)$ 内の与えられた境界曲線の近傍を、各々が複数の最小面積平面を境界とする1パラメータ族 $\{\Gamma_t\}$ に断片化する。
• 最小面積平面が境界が互いに交わらない場合、それらが $\mathbf{H}^3$ 内でも互いに交わらないことを保証するため、Meeks-Yau の交換ラウンドオフのテクニックを用いる。
• すべてのこのような平面と交わる横断的測地線 $\beta$ を $\mathbf{H}^3$ 内に構成し、各 $\Gamma_t$ に対して2つの平面間の線分の長さ $s_t$ を測定する。
• 2つの平面間の領域の「厚さ」$s_t$ を定義し、非一意性の指標とする；正の厚さは複数の解が存在することを示す。
• バーレーのカテゴリー論法を適用し、$s_t = 0$（すなわち一意解）である曲線 $\Gamma_t$ の集合が、ジョードン曲線の空間において一般的であることを示す。
• 高次元への一般化のために、$S^{n-1}_\infty(\mathbf{H}^n)$ 内の codimension-1 の部分多様体が一意に絶対的面積最小超曲面を境界とする集合が稠密であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $S^{n-1}_\infty(\mathbf{H}^n)$ 内の境界で、一意に絶対的面積最小超曲面を境界とするような境界の集合は、すべての境界の空間において稠密か？
• RQ2 次元3において、$S^2_\infty(\mathbf{H}^3)$ 内のジョードン曲線で、一意に最小面積平面を境界とするような集合は、一般的（すなわち、余第一級集合）か？
• RQ3 次元3において、漸近的プレートウ問題の非一意解を明示的に構成できるか？
• RQ4 最小面積平面に用いられた手法は、高次元における絶対的面積最小超曲面へ拡張可能か？
• RQ5 $n > 3$ に対して、$S^{n-1}_\infty(\mathbf{H}^n)$ 内の閉じた codimension-1 の部分多様体で、複数の絶対的面積最小超曲面を境界とするものがあるか？

主な発見

• $S^{n-1}_\infty(\mathbf{H}^n)$ 内の閉じた codimension-1 の部分多様体で、一意に絶対的面積最小超曲面を境界とするようなものの集合は、すべてのこのような部分多様体の空間において稠密である。
• 次元3において、$S^2_\infty(\mathbf{H}^3)$ 内のジョードン曲線で、一意に最小面積平面を境界とするようなものの集合は一般的であり、補集合が第一級集合であることを意味する。
• 著者らは、$S^2_\infty(\mathbf{H}^3)$ 内の単純閉曲線の明示的例を構成し、それらが複数の絶対的面積最小曲面を境界とする例を示しており、次元3における非一意性を実証している。
• この手法は、一意でない性質を測るための横断的測地線が、最小面積平面の族と交わる点を用い、2つの平面間の長さ $s_t$ が非一意性の指標として機能する。
• 従来のアンダーソンやハーディット＝リンによる凸または星型境界に関する一意性定理を、一般的かつ稠密な境界の集合へ拡張している。
• この手法は頑健であり、グロモフ・ハダマール空間、平均凸領域、一定平均曲率設定などへの応用が可能である可能性を有している。