[論文レビュー] On the number of square integrable solutions and self-adjointness of symmetric first order systems of differential equations

Matthias Lesch, M. M. Malamud|ArXiv.org|Dec 11, 2000

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異ハミルトニアンを有する対称的一階微分方程式系の平方可積分解の個数および自己共役性の基準を調査する。最小対称関係の共役作用素の定義域に関する正則性定理を用いて、形式的欠損指数と非形式的欠損指数の間の橋渡しを確立し、定義された系では形式的欠損指数が標準的欠損指数と一致することを証明する。また、二階Sturm–Liouville方程式に対するTitchmarsh–Searsの定理を一般化する。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to investigate the formal deficiency indices ${\cal N}_{\pm}(I)$ of a symmetric first order system $$ Jf'+Bf=λ{\cal H} f $$ on an interval $I$, where $I=\mathbb{R}$ or $I=\mathbb{R}_\pm.$ Here $J,B,{cal H}$ are $n imes n$ matrix valued functions and the Hamiltonian ${\cal H}\ge 0$ may be singular even everywhere. We obtain two results for such a system to have minimal numbers ${\cal N}_\pm(\mathbb{R})=0$ (resp. ${\cal N}_\pm(\mathbb{R}_\pm)=n$) and a criterion for their maximality ${\cal N}_{\pm}(\mathbb{R}_+)=2n.$ Some conditions for a canonical system to have intermediate numbers ${\cal N}_\pm(\mathbb{R}_+)$ are presented, too. We also obtain a generalization of the well-known Titchmarsh-Sears theorem for second order Sturm-Liouville type equations. This contains results due to Lidskii and Krein as special cases. It is important to note that in general the above system does not give rise to an operator but rather to a symmetric linear relation in a Hilbert space. These relations are investigated in detail. As a byproduct we obtain very short proofs of (generalizations of) the main results of a paper by Kogan and Rofe-Beketov (Proc. Roy. Soc. Edinb. 74 (1974/75))as well as a criterion for the quasi-regularity of canonical systems. This covers the Kac-Krein theorem and some results from the quoted paper of Kogan and Rofe-Beketov.

研究の動機と目的

• 対称的一階系が最小または最大の欠損指数をもつための条件を特定すること。
• 最小対称関係の共役作用素の定義域に関する正則性定理を用いて、形式的欠損指数と標準的欠損指数の間の関係を確立すること。
• 二階Sturm–Liouville方程式に対するTitchmarsh–Searsの定理を一階系へ一般化すること。
• 実直線および半直線上での本質的自己共役性の基準を、中間の欠損指数の状況を含めて提供すること。
• KoganとRofe–Beketovの結果およびKac–Kreinの定理を、特異ハミルトニアンを有する正規系へ拡張すること。

提案手法

• 作用素 $ S_{\min} $ および $ S_{\min}^* $ を $ L^2_{\mathcal{H}}(I) $ 上に導入し、その定義域を分析する。
• $ \mathcal{D}(S_{\min}^*) $ に関する正則性定理を証明し、弱解がほとんど everywhere で点ごとの解に引き上げられることを保証する。
• ゲージ変換を用いて、系を標準形または正規形に簡略化し、解析を容易にする。
• 対称線形関係の拡張理論を用いて、欠損指数 $ N_\pm(S_{\min}) $ を特徴付ける。
• 形式的欠損指数 $ \mathcal{N}_\pm $ と標準的欠損指数 $ N_\pm(S_{\min}) $ を比較し、定義された系では両者が一致することを示す。
• トレース推定と正規系の解の漸近的解析を用いて、欠損指数の値を求める基準を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数直線 $ \mathbb{R} $ や半直線 $ \mathbb{R}_+ $ 上の対称的一階系が、形式的欠損指数 $ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}) = 0 $ をもつのはいつか？
• RQ2 半直線 $ \mathbb{R}_+ $ 上の系が最大の欠損指数 $ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}_+) = 2n $ をとる条件は何か？
• RQ3 中間の欠損指数 $ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}_+) \in \{n+1, \dots, 2n-1\} $ となる条件は何か？
• RQ4 形式的欠損指数 $ \mathcal{N}_\pm $ と標準的欠損指数 $ N_\pm(S_{\min}) $ の関係は何か？
• RQ5 Titchmarsh–Searsの定理を特異ハミルトニアンを有する一階系へ一般化できるか？

主な発見

• 正則性定理により、$ \mathcal{D}(S_{\min}^*) $ のすべての元が、ほとんど everywhere で微分方程式を満たす代表元を持つことが保証され、正則性問題が解決される。
• 定義された系では、形式的欠損指数 $ \mathcal{N}_\pm $ と標準的欠損指数 $ N_\pm(S_{\min}) $ が一致し、また $ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}) = 0 $ となるのは $ S_{\min} $ が本質的に自己共役であるときかつそのときに限る。
• ある条件下で、$ \mathcal{N}_\pm(\mathbb{R}_+) = 2n $ であることは $ \int_0^\infty \operatorname{tr}(\mathcal{H}(x))\,dx = \infty $ であることと同値であることを証明する。
• スカラー系（$ n=1 $）では、$ \mathcal{N}_\pm(P_+) = 1 $ であるのは $ \int_0^\infty (\widetilde{A}^2(x) + 1)\mathcal{H}(x)\,dx = \infty $ のときであり、それ以外では $ \mathcal{N}_\pm(P_+) = 2 $ である。
• Kreinの主張に対する反例を提示し、$ \int_1^\infty \sqrt{\mathcal{H}(x)}\,dx = \infty $ であっても、$ n=1 $ の場合でも $ \mathcal{N}_\pm(P_+) = 1 $ とは限らないことを示す。
• 本研究の結果は、Kac–Kreinの定理を一般化し、Kogan–Rofe–Beketovの基準を準正則正規系へ拡張する。