[論文レビュー] On the number of vertices in integer linear programming problems

Nikolai Yu. Zolotykh|ArXiv.org|Nov 12, 2006

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、線形計画法問題の整数解の凸包における頂点数に関する上界と下界の包括的なサーベイと改善を提供する。固定次元 $ n $ に対して、頂点数は $ \Omega(m^{\lfloor n/2\rfloor} \log^{n-1} \alpha) $ のオーダーで増加することが示され、既存の最良の上界と一致し、定数要因を除いて最適性が保証される。また、一般の整数線形計画法（ILP）問題において、いかなる多項式時間アルゴリズムでも、最悪ケースにおける頂点数の指数的増加を回避できないことが示されている。

ABSTRACT

We give a survey of work on the number of vertices of the convex hull of integer points defined by the system of linear inequalities. Also, we present our improvement of some of these.

研究の動機と目的

• 線形計画法システムの整数解の凸包における頂点数に関する上界と下界の分析と改善を行う。
• 次元 $ n $、制約数 $ m $、係数サイズ $ \alpha $ を関数として、整数計画法における頂点数の漸近的増加率を特定する。
• 既存の上界のタイトネスを、一致する下界の証明によって確立し、最悪ケースにおいて顕著な改善が不可能であることを示す。
• 頂点数の境界が、特に分枝限定法やカット平面法の効率的アルゴリズム設計に与える影響を調査する。

提案手法

• 係数範囲の対数的増加に基づいて頂点数を制限する、シェヴェンコの分離性質法を用いる。
• $ P_I $ の頂点から分離性質を持つ集合への一対一写像を構築し、対数的積の上限を適用可能にする。
• 変数分割を用いて一般の ILP 問題を非負変数を含む等式系に変換し、頂点構造を保存する。
• パrameter 範囲における確率的および平均的議論を用いて、期待頂点数の下界を導出する。
• 合同式の解との関連を、モジュラー算術および格子点数え上げを用いて、ナップサックポリトープにおける頂点数を関連付ける。
• マクマレンの上界定理を適用し、頂点数と面数の関係を示し、多面体の複雑性に及ぼす影響を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ Ax \leq b $ で定義される多面体内の整数点の凸包に現れる頂点の最大数は何か？
• RQ2 整数計画法における頂点数に関する既存の上界は改善可能か、それとも漸近的にタイトか？
• RQ3 頂点数は制約数 $ m $、次元 $ n $、係数サイズ $ \alpha $ にどのように依存するか？
• RQ4 最悪ケースの頂点数に達する整数計画法の族は存在するか？ もし存在するならば、それらはどのように構造化されているか？
• RQ5 整数凸包に指数的多数の頂点が存在する場合、アルゴリズム的インパクトは何か？

主な発見

• 整数凸包 $ P_I $ の頂点数は、$ c_n m^{\lfloor n/2\rfloor} \log^{n-1}(1+\alpha) $ 以下である。これは、既存の最良の上界と一致する。
• 一致する下界 $ \Omega(m^{\lfloor n/2\rfloor} \log^{n-1} \alpha) $ が証明され、固定次元 $ n $ に対して上界が漸近的にタイトであることが示された。
• ナップサック問題において、ナップサックポリトープの頂点数は少なくとも $ \Omega(\log^{n-1} \alpha) $ である。これは、この特殊ケースにおいて境界のタイトネスを確認する。
• 下界は非構成的である。大規模な $ n $ に対して $ \Omega(\log^{n-1} \alpha) $ 個の頂点を達成する明示的な多面体族は知られていない。
• $ P_I $ の面数は、$ c_n m^{(\lfloor n/2\rfloor)^2} \log^{(n-1)\lfloor n/2\rfloor}(1+\alpha) $ 以下である。これは、頂点-面双対性とマクマレンの境界から導出されたものである。
• これらの結果は、一般の ILP アルゴリズムが、固定 $ n $ であっても頂点数の指数的最悪ケース複雑性を回避できないことを示唆している。