[論文レビュー] On the numerical index of real $L_p(\mu)$-spaces

Miguel Martı́n, Javier Merí+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2009

Advanced Banach Space Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、$p \neq 2$ のとき、実 $L_p(\mu)$-空間の数値指数に正の下界を確立し、$\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上で数値半径と作用素ノルムが同値であることを証明する。主な結果は $n(L_p(\mu)) \geq \frac{M_p}{12e}$ であり、ここで $M_p = \max_{t \geq 1} \frac{|t^{p-1} - t|}{1 + t^p} > 0$ である。これは、$p \neq 2$ の無限次元実 $L_p$-空間における数値指数の正の性質に関する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We give a lower bound for the numerical index of the real space $L_p(\\mu)$ showing, in particular, that it is non-zero for $p\ eq 2$. In other words, it is shown that for every bounded linear operator $T$ on the real space $L_p(\\mu)$, one has $$ \\sup{\\Bigl|\\int |x|^{p-1}\\sign(x) T x d\\mu \\Bigr| : x\\in L_p(\\mu), \\|x\\|=1} \\geq \\frac{M_p}{12\\e}\\|T\\| $$ where $M_p=\\max_{t\\in[0,1]}\\frac{|t^{p-1}-t|}{1+t^p}>0$ for every $p\ eq 2$. It is also shown that for every bounded linear operator $T$ on the real space $L_p(\\mu)$, one has $$ \\sup{\\int |x|^{p-1}|Tx| d\\mu : x\\in L_p(\\mu), \\|x\\|=1} \\geq \\frac{1}{2\\e}\\|T\\|. $$

研究の動機と目的

• $p \neq 2$ のとき、実 $L_p(\mu)$-空間の数値指数に正の下界を確立し、関数解析における未解決問題に取り組む。
• フィネとリが提起した、無限次元実 $L_p$-空間における数値指数の正の性質に関する問いを解決する。
• 有限次元 $\ell_p^m$-空間に関する既知の結果を、無限次元空間 $L_p(\mu)$ の場合に拡張する。
• 数値指数がパラメータ $M_p = \max_{t \geq 1} \frac{|t^{p-1} - t|}{1 + t^p}$ とどのように関連するかを定量化する推定を提供する。このパラメータは、$\ell_p^2$ 上の特定の作用素の数値半径から生じる。
• 数値半径と作用素ノルムが $p \neq 2$ のとき $\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上で同値であることを示し、$n(L_p(\mu)) > 0$ を示唆する。

提案手法

• $\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上に、数値半径と作用素ノルムの間にある新しい半ノルムを導入し、これら三つの量の比較を可能にする。
• 双対性ペアリング $x^\# = |x|^{p-1} \operatorname{sign}(x)$ を用いて、数値半径を $v(T) = \sup \left| \int x^\# T x \, d\mu \right|$ として、正規化された $x \in L_p(\mu)$ の上での上限として表現する。
• ノルムが 1 であるような単純関数 $x = \sum_{j=1}^m a_j e^{i\theta_j} \chi_{A_j}$ の族を構成し、数値半径の下界を推定する。
• $z_k \in \{-1, 1\}$ を用いた対称化の議論により、積分 $\int x^\# T x \, d\mu$ の実部を $\sum_j a_j^{p-1} \left| \sum_k a_k z_k \alpha_{j,k} \right|$ を用いて上から抑える。
• 実作用素 $T$ の複素化 $T_\mathbb{C}$ を用い、既知の不等式 $v(T_\mathbb{C}) \geq n(L_p^\mathbb{C}(\mu)) \|T_\mathbb{C}\| \geq \frac{1}{e} \|T\|$ を複素 $L_p$-空間に対して用いる。
• 実と複素の推定を組み合わせ、関数 $M_p$ の凸性および極値性の性質を活用して、最終的な下界 $n(L_p(\mu)) \geq \frac{M_p}{12e}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元実 $L_p(\mu)$-空間の数値指数は $p \neq 2$ のとき正か？
• RQ2 数値指数に $p$ を用いた定量的下界を確立できるか？
• RQ3 $L_p(\mu)$ の数値指数は、その有限次元部分空間 $\ell_p^m$ のそれとどのように関係するか？
• RQ4 $p \neq 2$ のとき、$\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上で数値半径と作用素ノルムが同値となるか？
• RQ5 パラメータ $M_p = \max_{t \geq 1} \frac{|t^{p-1} - t|}{1 + t^p}$ は、数値指数の下界を評価するために果たす役割は何か？

主な発見

• $1 < p < \infty$, $p \neq 2$ のすべての $p$ に対して、実 $L_p(\mu)$-空間の数値指数は $n(L_p(\mu)) \geq \frac{M_p}{12e}$ を満たす。ここで $M_p = \max_{t \geq 1} \frac{|t^{p-1} - t|}{1 + t^p}$ である。
• $M_p > 0$ であるため、すべての $p \neq 2$ に対して $n(L_p(\mu)) > 0$ であることが示され、フィネとリによる未解決問題が解決される。
• この結果により、$p \neq 2$ のとき $\mathcal{L}(L_p(\mu))$ 上で数値半径と作用素ノルムが同値であることが確認され、$v(T) \geq c_p \|T\|$ を満たす $c_p > 0$ が存在することが示される。
• $\dim(L_p(\mu)) \geq 2$ のすべての $p$ に対して $n(L_p(\mu)) \leq M_p$ が成り立ち、等号が成り立つ可能性があると予想されているが、これは証明されていない。
• 証明技法は、複素化と $\{-1, 1\}$-値係数における対称化に依存し、数値半径の下界推定に用いられる。
• 既知の有限次元の不等式 $n(\ell_p^m) \geq \frac{M_p}{12e}$ を無限次元の場合に拡張し、$n(L_p(\mu)) = \inf_m n(\ell_p^m)$ を示している。