[論文レビュー] On the numerical radius of a quaternionic normal operator

G. Ramesh|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、クaternion的ヒルバート空間上の右線形有界正規作用素のノルムと数値半径が等しいことを確立し、古典的な複素線形作用素理論の結果をクォータニオン的設定に拡張する。この等価性を用いて、コンパクトな正規クォータニオン作用素のスペクトル定理の新たな証明が与えられ、すべてのコンパクトなクォータニオン作用素がノルムを達成することを示し、したがって、ノルムを達成する作用素が有界作用素の空間に稠密であるというクォータニオン的版のリンデンシュトラウスの定理を証明する。

ABSTRACT

We prove that for a right linear bounded normal operator on a quaternionic Hilbert space (quaternionic bounded normal operator) the norm and the numerical radius are equal. As a consequence of this result we give a new proof of the known fact that a non zero quaternionic compact normal operator has a non zero right eigenvalue. Using this we give a new proof of the spectral theorem for quaternionic compact normal operators.. Finally, we show that every quaternionic compact operator is norm attaining and prove the Lindenstrauss theorem on norm attaining operators, namely, the set of all norm attaining quaternionic operators is norm dense in the space of all bounded quaternionic operators defined between two quaternionic Hilbert spaces.

研究の動機と目的

• クォータニオン的ヒルバート空間上の右線形有界正規作用素のノルムと数値半径が等しいことを確立すること。
• この結果を用いて、非ゼロのコンパクトな正規クォータニオン作用素が非ゼロの右固有値を持つことを証明すること。
• ノルムと数値半径の等価性を用いて、コンパクトな正規クォータニオン作用素のスペクトル定理の新たな証明を提供すること。
• すべてのコンパクトなクォータニオン作用素がノルムを達成することを示すこと。
• ノルムを達成する作用素に関するリンデンシュトラウスの定理をクォータニオン的設定に拡張すること。

提案手法

• スライス複素構造を用いて、与えられたクォータニオン正規作用素から複素正規作用素を関連づけ、ノルムと数値半径を保存する。
• 複素ヒルバート空間における古典的結果（正規作用素ではノルムと数値半径が等しい）を用いて、クォータニオン正規作用素に対しても同様の等価性を導出する。
• ノルムと数値半径の等価性を応用して、コンパクトな正規クォータニオン作用素が非ゼロの右固有値を持つことを証明する。
• 非ゼロの右固有値の存在とスペクトル分解技術を用いて、コンパクトな正規クォータニオン作用素のスペクトル定理の新たな証明を導出する。
• 絶対値作用素がノルムを達成することを示すことで、すべてのコンパクトなクォータニオン作用素がノルムを達成することを証明する。この際、ノルムと数値半径の等価性を活用する。
• 極分解とランク1の正定値作用素を用いた摂動論法を用いて、ノルムを達成する作用素の集合が有界クォータニオン作用素の空間に稠密であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオン的ヒルバート空間上の右線形有界正規作用素のノルムは、その数値半径に等しいか？
• RQ2 ノルムと数値半径の等価性を用いて、コンパクトな正規クォータニオン作用素が非ゼロの右固有値を持つことを確立できるか？
• RQ3 ノルムと数値半径の等価性を用いて、コンパクトな正規クォータニオン作用素のスペクトル定理を再証明できるか？
• RQ4 すべてのコンパクトなクォータニオン作用素がノルムを達成するか？
• RQ5 ノルムを達成するクォータニオン作用素の集合は、すべての有界クォータニオン作用素の空間に稠密か？

主な発見

• クォータニオン的ヒルバート空間上の右線形有界正規作用素のノルムと数値半径は等しい。
• ノルムと数値半径の等価性の結果として、すべての非ゼロのコンパクトな正規クォータニオン作用素は非ゼロの右固有値を持つ。
• ノルムと数値半径の等価性と非ゼロの右固有値の存在を用いて、コンパクトな正規クォータニオン作用素のスペクトル定理の新たな証明が確立された。
• すべてのコンパクトなクォータニオン作用素はノルムを達成する。これは、単位球面上で作用素ノルムが達成されることを意味する。
• すべてのノルムを達成するクォータニオン作用素の集合は、2つのクォータニオン的ヒルバート空間間のすべての有界クォータニオン作用素の空間においてノルム稠密であり、クォータニオン的版のリンデンシュトラウスの定理が証明された。
• ランク1の正定値作用素による摂動の構成を用いて稠密性を示し、極分解とコンパクト作用素のノルム達成性を活用した。