[論文レビュー] On the obstruction to linearizability of 2-order ordinary differential equations

Valeriy Yumaguzhin|ArXiv.org|Apr 2, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、2階常微分方程式（2-ODE）を点変換によって線形化可能なかどうかの障害を同定するため、方程式空間の2次ジャンプバンドル上に値をとる水平微分2形式を構成することにより、特異な障害を同定する。この形式は、線形化可能な方程式の軌道上でのみ消えることにより、線形化可能性を特徴づける唯一の不変量であることが証明され、射影接続や曲率形式に依存しない直接的な微分幾何的基準を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the action of pseudogroup of all point transformations on the natural bundle of equations $y'' = u^0(x,y) + u^1(x,y)y' + u^2(x,y)(y')^2 + u^3(x,y)(y')^3$. We calculate the 1-st nontrivial differential invariant of this action. It is a horizontal differential 2-form with values in some algebra, it is defined on the bundle of 2--jets of sections of the considered bundle. We prove that this form is a unique obstruction to linearizability of these equations by point transformations.

研究の動機と目的

• 2階ODEが点変換によって線形化可能かどうかを分類するための、すべての不変量の完全な集合を特定すること。
• 自然バンドルの2-ODEのための点変換の擬群作用に対して、初めて非自明な微分不変量を構成すること。
• この不変量が線形化可能性の唯一の障害であることを証明し、Cartanの射影接続の手法に依存しない幾何的基準を提供すること。
• 2次ジャンプバンドル上の水平2形式の消えることと、方程式を線形形に還元する点変換の存在との間の直接的な関係を確立すること。

提案手法

• 2-ODEの自然バンドルの2次ジャンプバンドル $J^2\pi$ に、点変換の擬群を上へ持ち上げる。
• 擬群が $J^2\pi$ 上に作用する様子を分析し、次元が最大の一般軌道 $\mathrm{Orb}_1$ と、余次元2の特殊軌道 $\mathrm{Orb}_2$ の2つの軌道が得られる。
• G-構造の延長技法に類似した手法を用いて、$J^2\pi$ 上に値をとる水平微分2形式 $\omega^{(2)}$ を構成する。
• $\omega^{(2)}$ が一般軌道 $\mathrm{Orb}_1$ 上では消えないが、特殊軌道 $\mathrm{Orb}_2$ 上ではちょうど消えることが示され、この軌道は線形化可能な方程式に対応する。
• 曲率に基づくアプローチを避けるために、ジャンプ理論的手法とSpenserコホロロジーを用いて障害を定義する。
• $\omega^{(2)}$ がセクション $S$ の2次ジャンプで消えることと、方程式を線形形に還元する点変換が存在することとが同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点変換の擬群作用が2階ODEの2次ジャンプバンドルに作用する際の、最初の非自明な微分不変量は何か？
• RQ2 点変換による線形化可能な2-ODEの集合を幾何的にどのように特徴づけられるか？
• RQ3 曲率に基づくアプローチとは独立して、線形化可能性の唯一の障害として機能する2次ジャンプバンドル上の微分形式は存在するか？
• RQ4 2-ODEの線形化可能性が、$J^2\pi$ 上の単一の微分不変量の消えることにのみ依存して特定可能か？
• RQ5 $J^2\pi$ 上の作用の軌道構造と、方程式を線形化する点変換の存在との間の正確な関係は何か？

主な発見

• 点変換作用の2次ジャンプバンドル $J^2\pi$ 上に、最初の非自明な微分不変量として、リー代数値をとる水平微分2形式 $\omega^{(2)}$ が構成された。
• $\omega^{(2)}$ は一般軌道 $\mathrm{Orb}_1$ 上では消えないが、特殊軌道 $\mathrm{Orb}_2$ 上では恒等的に消え、この軌道は線形化可能な方程式に対応する。
• $\omega^{(2)}$ がセクション $S$ の2次ジャンプで消えることと、$S$ をゼロセクションに写す点変換が存在することは同値である。
• $\mathrm{Orb}_{0_2}$ は、線形化可能な方程式に対応する軌道であり、$\omega^{(2)}$ のゼロ点集合として正確に特定される。これにより、$\omega^{(2)}$ が唯一の障害であることが確認される。
• 線形化可能な点変換の存在の証明は、関連するPDE系の自然射影 $\mathcal{E}^{(2)} \to \mathcal{E}^{(1)}$ の全射性に依存しており、これは $\omega^{(2)}$ の消えることによって確立される。
• この結果により、$\omega^{(2)}$ が線形化可能性の唯一の障害であることが確認され、任意の2つの線形2-ODEは局所的に点変換で同値である。