[論文レビュー] On the One-Dimensional Optimal Switching Problem

Erhan Bayraktar, Masahiko Egami|ArXiv.org|Jul 1, 2007

Capital Investment and Risk Analysis参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、動的計画法および過剰関数理論を用いて、拡散過程における1次元最適スイッチング問題の直接的解法を提示する。報酬関数のホルダー連続性を仮定しないまま、価値関数の滑らかなフィット性および凹性の性質を確立する。主な貢献は、逐次近似およびマコフ過程理論を用いて、最適スイッチング方策および価値関数の明示的特徴付けを達成することにある。

ABSTRACT

We explicitly solve the optimal switching problem for one-dimensional diffusions by directly employing the dynamic programming principle and the excessive characterization of the value function. The shape of the value function and the smooth fit principle then can be proved using the properties of concave functions.

研究の動機と目的

• 1次元の拡散過程における最適スイッチング問題を、検証手法に依存しない直接的手法で解くこと。
• 動的計画法を用いて、価値関数を結合された最適停止問題の解として特徴付けること。
• 過剰関数理論を用いて、価値関数の滑らかなフィット性および凹性の性質を証明すること。
• 非退化ケースに対して、最適停止問題の過剰関数的特徴付けを用いて明示的解を構成すること。
• 報酬関数に対するホルダー連続性やリプシッツ連続性といった制限的な仮定を回避することで、既存の結果を一般化すること。

提案手法

• 報酬関数のホルダー連続性を要請しないように、逐次近似法を適用して、最適スイッチング問題における動的計画法の原則を証明する。
• 本質的上界およびマコフ過程の性質を用いて、価値関数を2つの結合された最適停止問題の解として特徴付ける。
• DayanikとKaratzasの過剰関数的特徴付けを用いて、非退化ケースにおける価値関数を明示的に構成する。
• 最適スイッチング問題が標準的最適停止問題に還元される十分条件を確立する。
• 強マコフ性および連続性の議論を用いて、価値関数の連続性と正則性を反復的に証明する。
• 帰納法を用いて、価値関数の列が与えられた成長条件のもとで収束し、連続性および有界性を保つことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元の拡散過程における最適スイッチング問題は、検証的議論に依存せずに直接的に解けるか？
• RQ2 ホルダー連続性が成立しない状況下で、価値関数の滑らかなフィット性および凹性を保証する条件は何か？
• RQ3 報酬関数の正則性仮定を最小限に抑えた状況下で、動的計画法の原則をどのように厳密に確立できるか？
• RQ4 最適スイッチング問題が標準的最適停止問題に還元される条件は何か？
• RQ5 過剰関数理論を用いて、非退化ケースに対して明示的解を構成できるか？

主な発見

• 報酬関数のホルダー連続性を仮定しないで、逐次近似法を用いて最適スイッチング問題における動的計画法の原則を厳密に確立した。
• 過剰関数の性質を用いて、適切な変換の後、価値関数が滑らかなフィット性を満たし、凹性を示すことが示された。
• 本稿で提示された反例により、最適スイッチング問題における継続領域が必ずしも連結ではないことが明らかになった。
• 非退化ケースに対して、最適停止問題の価値関数の過剰関数的特徴付けを用いて明示的解を構成した。
• 価値関数の列は一様収束し、与えられた成長および連続性条件のもとで各反復列が連続性を保った。
• 本手法は一般性を有し、平均回帰的過程（例：オーナイズ・ウーレン過程）を含む、すべての1次元拡散過程に適用可能である。