[論文レビュー] On the operator content of nilpotent orbifold models

Chongying Dong, Geoffrey Mason|ArXiv.org|Dec 12, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有限ノルム群 G の部分群と、固定部分代数 V^G を含む頂点 operator 代数 V の部分代数の間のガロア対応を確立し、各 g ∈ G に対して g-ねじれ V-加群 M(g) が一意に存在するという条件の下で、群環 Z[G] 上のホッヒシュライブ 3-コホホロジー α を用いて、V^G-加群の圏がねじれ量子二重 D_α(G) の加群圏と同値であることを示している。この結果により、 conformal field theory におけるノルム群型オルビフォールド模型の演算子内容が圏論的に分類される。

ABSTRACT

Let $V$ be a simple vertex operator algebra and $G$ be a finite nilpotent group of automorphisms of $V.$ We prove the following in this paper: (1) There is a Galois correspondence between subgroups of $G$ and the vertex operator subalgebras of $V$ which contain $V^G$ given by the map $H\mapsto V^H.$ (2) Assume that for every G\in G$ there is unique simple $g$-twisted $V$-module $M(g).$ Then there exists a Hochschild 3-cocycle $α$ on the integral group $Z[G]$ such that there is an equivalence of categories between $V^G$-module category (whose objects are $V^G$-submodules of direct sums of copies of $\oplus_{g\in G}M(g),$ and whose morphisms are $V^G$-module homomorphisms) and the module category for the twisted quantum double $D_α(G)$ associated to $α.$

研究の動機と目的

• 有限ノルム群 G の部分群と、V^G を含む頂点 operator 代数 V の部分代数の間のガロア対応を確立すること。
• V^G-加群の圏を分析することにより、ノルム群型オルビフォールド模型の演算子内容を分類すること。
• V^G-加群の圏がねじれ量子二重 D_α(G) の加群圏と同値である条件を特定すること。
• 各 g ∈ G に対して単純な g-ねじれ V-加群 M(g) が一意に存在するという仮定の下で、整数群環 Z[G] 上の Hochschild 3-コホホロジー α を構成し、この同値性を実現すること。

提案手法

• 有限ノルム群 G が単純な頂点 operator 代数 V に作用することにより、各部分群 H ≤ G に対して固定部分代数 V^H を定義する。
• 写像 H ↦ V^H が G の部分群と V の V^G を含む部分代数の間のガロア対応をなすことの証明。
• 各 g ∈ G に対して、単純な g-ねじれ V-加群 M(g) が一意に存在すると仮定する。
• ねじれ加群の表現論を用いて、群環 Z[G] 上の Hochschild 3-コホホロジー α を構成する。
• 直接和 ⊕_{g∈G} M(g) の部分加群としての V^G-加群の圏と、ねじれ量子二重 D_α(G) の加群圏との間のテンソル同値性を確立する。
• 頂点 operator 代数の構造と群コホモロジーを用いて、この同値性の結合性と整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純な頂点 operator 代数 V を持つ有限ノルム群 G の部分群と、V^G を含む V の部分代数の間にガロア対応が存在するか？
• RQ2 V^G-加群の圏がねじれ量子二重 D_α(G) の加群圏と同値であるのはどのような条件下か？
• RQ3 整数群環 Z[G] 上に、V^G-加群の圏が D_α(G)-加群圏と同値であるような Hochschild 3-コホホロジー α を構成できるか？
• RQ4 各 g ∈ G に対して単純な g-ねじれ V-加群 M(g) が一意に存在することは、オルビフォールド理論の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 ノルム群型オルビフォールド模型における演算子内容の圏的構造は何か？

主な発見

• V^G を含む V の部分代数 V^H と G の部分群 H ≤ G の間にはガロア対応が存在し、写像 H ↦ V^H は双対写像である。
• 各 g ∈ G に対して単純な g-ねじれ V-加群 M(g) が一意に存在するとき、V^G-加群の圏はねじれ量子二重 D_α(G) の加群圏と同値である。
• この同値性は、整数群環 Z[G] 上の Hochschild 3-コホホロジー α を用いて実現され、この α は圏の結合性とブレーディングデータを符号化している。
• この構成により、D_α(G) の表現論を用いて、ノルム群型オルビフォールド模型における演算子内容の完全な分類が得られる。
• この結果は、ノルム群をもつ頂点 operator 代数の文脈において、 conformal field theory におけるオルビフォールド構成を一般化する。
• この枠組みにより、ねじれ加群の表現論と群コホモロジーおよび圏的同値性を介した量子二重理論が統合される。