[論文レビュー] On the optimal control problem for a class of monotone bilinear systems

Neil K. Dhingra, Marcello Colombino+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Diabetes and associated disorders参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単調なバイナリー系に対する無限時間ホライゾン最適制御問題を定式化し、最適制御入力が時間的に一定であり、有限次元の非滑らか凸最適化によって計算可能であることを証明する。主な貢献は、最適コントローラーを計算するための部分勾配アルゴリズムの開発およびモデル不確実性下でのロバスト制御への拡張であり、HIVの複合薬物療法設計への応用を含む。

ABSTRACT

We consider a class of monotone systems in which the control signal multiplies the state. Among other applications, such bilinear systems can be used to model the evolutionary dynamics of HIV in the presence of combination drug therapy. For this class of systems, we formulate an infinite horizon optimal control problem, prove that the optimal control signal is constant over time, and show that it can be computed by solving a finite-dimensional non-smooth convex optimization problem. We provide an explicit expression for the subdifferential set of the objective function and use a subgradient algorithm to design the optimal controller. We further extend our results to characterize the optimal robust controller for systems with uncertain dynamics and show that computing the robust controller is no harder than computing the nominal controller. We illustrate our results with an example motivated by combination drug therapy.

研究の動機と目的

• 生物学的・物理的プロセス（例えばHIVウイルス動態など）に由来する非負の状態をとる単調バイナリー系の最適制御を扱う。
• 誘導パワーノルムを性能指標として用いることで、無限時間ホライゾン最適制御問題を定式化し、H∞性能を一般化する。
• 最適制御入力が時間的に一定であることを証明し、このような系のコントローラー設計を簡素化する。
• 得られた非滑らか凸最適化問題を解くための部分勾配アルゴリズムを開発する。
• モデル不確実性下でのロバスト制御にフレームワークを拡張し、ロバストコントローラー設計がノーマル設計と同等の複雑さで可能であることを示す。

提案手法

• 制御入力が状態に乗算されるタイプの単調バイナリー系のクラスに対して最適制御問題を定式化し、メッツラー行列によって支配される動的特性と、制御入力が対角行列を通じて系に作用することを想定する。
• 目的関数をシステム伝達関数の誘導パワーノルムとして定義し、スカラ制御ゲインに関する非滑らか凸最適化問題に帰着させる。
• 目的関数の部分微分を明示的に導出し、部分勾配に基づく最適化を可能にする。
• 部分勾配アルゴリズムを適用し、目的関数を最小化する最適な定常制御入力を計算する。
• システム行列への構造的摂動を組み込むことでモデル不確実性を扱うため、ロバスト最適化アプローチを用いてフレームワークを拡張する。
• ロバストコントローラー設計がノーマルケースと同様の凸問題に還元されることを示し、計算の実行可能性を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限時間ホライゾン性能基準下で、単調バイナリー系の最適制御入力が時間的に一定であることを示せるか？
• RQ2 非滑らか性が存在するにもかかわらず、このような系の最適制御問題が有限次元凸最適化で扱えるか？
• RQ3 モデル不確実性を伴う系に対して、ノーマルケースを上回る計算複雑性を伴わずにロバスト制御を設計できるか？
• RQ4 生物学的応用（例：HIV療法）において、凸最適化で導かれた最適制御入力は、ヒューリスティック法や時変制御手法と比較してどのように異なるか？
• RQ5 構造的不確実性（例：ウイルスネットワークにおける不確実な変異経路）が、コントローラー性能および安定性に与える影響は何か？

主な発見

• 考察対象の単調バイナリー系クラスにおける最適制御入力は時間的に一定であり、実装および解析を簡素化する。
• 最適コントローラーは、有限次元の非滑らか凸最適化問題を解くことで計算可能であり、明示的な部分微分表現により部分勾配法が可能になる。
• n=10の変異体、r=1、ρ=3のHIVに由来する例において、ノーマル最適制御入力はu_nom = 1.5936、ロバストコントローラーはu_rob = 1.9413である。
• ノーマルコントローラーは、不確実な変異経路c ≥ 0.0054で不安定化するが、ロバストコントローラーはc ≥ 0.5461まで安定を保つ。
• ロバストコントローラーは、x_nからx_1への循環的リンクを含む変異経路の不確実性（α_1n = 0.1で境界付けられる）を処理できるように設計されている。
• インパulse応答解析により、特に不確実性下において、ロバストコントローラーがノーマルコントローラーに比べてはるかにモデル摂動に対して耐性があることが確認された。